Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Рассмотрим уравнение

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение ξ, обращающее функцию в нуль, т.е. такое, что f(ξ) = 0, называется корнем уравнения или нулем функции f(x).

Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней складывается из двух этапов:

1. отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень уравнения.

2. уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной точности.

Для отделения корней используется следующая теорема математического анализа.

Если непрерывная функция принимает на концах промежутка [α, β] значения разных знаков т.е.

f(α)∙f(β) < 0,

то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, в которой функция обращается в нуль, т.е. f(ξ) = 0.

Точка x = ξ является корнем уравнения (1).

f(α) f(α)

α ξ β x α ξ₁ ξ₂ ξ₃ β

f(β) f(β)

Корень x = ξ, будет заведомо единственным корнем уравнения f(x) = 0, если внутри интервала [α, β] производная f′(x) сохраняет постоянный знак.

f′(x)>0 f′(x) < 0

α ξ β α ξ β

Если производная меняет знак на интервале [α, β], то следует произвести отделение корней, т.е. найти интервалы, где существует заведомо один корень уравнения. Блок-схема программы отделения корней уравнения F(x, y) = 0 имеет вид

Ввод диапазона поиска x₀, x _k

x = [x₀ , x_k] step dx

F1= F(x)

нет F2 = F(x + dx)

F1∙F2 < 0

да

отрезок, содержащий корень

Программа на языке qbasic

Рассмотрим уравнение

1 – 3x + cosx = 0

Используя пакет MathCAD, строим график функции F(x)

Из графика видно, что на интервале [-1, 1] имеется один корень рассматриваемого уравнения. Для нахождения аналитического значения корня находим производную

F′(x) = −3 – sin x

Очевидно, F′(x) < 0, следовательно, функция F(x) всюду убывает и имеет единственный корень на интервале [-1, 1] .

Для отделения корня составим программу на языке QBASIC. Программа имеет вид:

X0 = -1

XK = 1

DX = .1

FOR X = X0 TO XK STEP DX

F1 = 1 - 3 * X + COS(X)

F2 = 1 - 3 * (X + DX) + COS(X + DX)

IF F1 * F2 < 0 THEN

WRITE "[", X, X + DX, "]", "ROOT": GOTO N1

END IF

N1: NEXT X

END

Ответ компьютера « [0.6; 0.7] ROOT», т.е. уравнение имеет корень в указанном интервале.