Текст программы на qbasic интегрирования по формуле Симпсона.

DEF FNsim (x) = COS(x + x ^ 5)

a = 0

b = 2

E = .0001

n = 2

h = (b - a) / n

s = (FNsim(a) + 4 * FNsim((a + b) / 2) + FNsim(b)) * (h / 3)

m1: n = 2 * n

h = (b - a) / n

s1 = s

c = 4

x = a

s = FNsim(a) + FNsim(b)

FOR i = 1 TO n - 1

x = x + h

s = s + c * FNsim(x)

c = 6 - c

NEXT i

s = s * (h / 3)

IF ABS(s - s1) / 15 >= E THEN GOTO m1

WRITE "integral =", s, "n=", n

END

Наконец, вычисление определенного интеграла можно осуществить используя пакет программ MathCAD.

Интегрирование начинается с открытия рабочего листа и записи оператора интегрирования с использованием панели «Матанализ» Затем в оператор вписывается переменная, сама функция и пределы интегрирования. Вводим знак =. Автоматически получаем результат. Точность результата получим: «формат», «результат». В открывшемся окне укажем необходимое число десятичных знаков.

Численное интегрирование дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y′ = f(x,y) (1)

Требуется найти частное решение y = φ(x), удовлетворяющее начальным условиям

y = y₀ при x = x_0. (2)

Решить дифференциальное уравнение численным методом – это означает, что для данной последовательности аргументов x₀, x₁, ..., x_n и числа y₀, не определяя функцию y = φ(x), найти такие значения у₁, у₂, ..., у _n, что y_i ≈ φ(x _i) (i = 1, 2, ..., n) и φ(x₀) = y_0.

Таким образом, численные методы позволяют находить вместо функции y = φ(x) таблицу приближенных значений этой функции для заданной последовательности значений аргументов. Величина h = x _i – x _{i – 1} шагом интегрирования.

Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется, в основном, для ориентировочных расчетов. Однако. идеи этого метода являются исходными для других методов. Итак, нужно найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2).

Разобьем отрезок [х₀, b] на n равных частей.

Пусть y = φ _h(x) – приближенное решение этого уравнения. Обозначим

y₀ = φ_h(x₀), y₁ = φ_h(x₁), ..., y_n= φ_h(x_n)

Δx _i = x _{i + 1} – x _i,

Δy _i = y _{i + 1} – y_i.

y

Δy₁

Δy₀ y = φ(x) y _i – искомые ординаты интегральной .

y₂ y _i y_n кривой.

y₀ y₁

x₀ x₁ x₂......x _i ... b x

Рассмотрим уравнение (1) на отрезке [x₀, x₁]. Заменим производную на , а правую чаcть на f(x₀, y₀). Тогда,

На отрезке [x₁, x₂]

Соединяя точки (x _i, y _i) отрезками прямых, получим ломаную Эйлера.

Можно показать, что если выполняются условия теоремы Коши, то

.

Ломаная Эйлера будет стремиться к интегральной кривой.

Метод Рунге-Кутта.

Более точным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений является метод Рунге- Кутта. Метод Рунге-Кутта является одним из методов повышенной точности.. Этот метод является усовершенствованным методом Эйлера.

Пусть на отрезке [x₀,b] требуется найти численное решение уравнения

y′ = f(x,y) (1)

с начальными условиями

y = y₀ при x = x_0. (2)

Разобьем отрезок [x₀,b] на n равных частей точками x _i = x₀ + i h (i = 0, 1, ..., n), где

- шаг интегрирования.

Так же как и в методе Эйлера, последовательность значений y _i искомой функции y определяется по формуле

y_{i + 1} = y_i + Δy_i

Если разложить функцию у в ряд Тейлора и ограничиться членами до h⁴ включительно, то приращение Δy представляется в виде

(3)

Вместо вычислений производных по формуле (3) в методе Рунге-Кутта определяются четыре числа

Можно показать, что если числам k⁽ⁱ⁾_j (j =1, 2, 3, 4 ) придать соответственно вес ¹/₆, ¹/₃, ¹/₃, ¹/₆ , то средневзвешенное этих чисел будет приближенно равно Δ y _i+1/

Числа имеют простой геометрический смысл.

y _i + k₁h

y_i + k₂h

y_i

y _i + k₃h

y_i + k₄h

x _i x _i + h/2 x _i + h x

Оценка точности этого метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью «двойного пересчета» по формуле

Здесь y(x_i) – значение точного решения уравнения (1), а y_i и y_i^* - приближенные значения, полученные с шагом h и ^h/₂. Отсюда, задав погрешность формул Е, следует добиться того, чтобы значения у_i . полученные с шагом h и с шагом ^h/₂, удовлетворяли условию

|y^*_i – y_i| < ¹⁵/₁₆ E.