Округление чисел.

Рассмотрим некоторое приближенное или точное число а. Часто бывает необходимость округлить это число, т.е. заменить его числом а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Число а₁ выбирают так, чтобы погрешность округления |a₁ – a|, была наименьшей.

Правило округления. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n – й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом

1. если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2. если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3. если первая из отброшенных цифр равна 5, и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

4. если первая из отброшенных цифр больше 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

П р и м е р 1 . Округляя число

π = 3,1415926535…

до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416,

3,142, 3,14. Абсолютные погрешности при этом будут меньше соответственно

½ ∙10 ^-4, ½ 10 ^-3, ½ 10 ^{– 2}

П р и м е р 2 . Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, равной ½ 10 ^-1 = 0,05.

Точность приближенного числа зависит от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда число содержит излишнее количество неверных значащих цифр прибегают к округлению.

В промежуточных результатах вычислений следует удерживать не более 1-2 неверных значащих цифр. Окончательный результат не должен содержать более одной сомнительной (неверной) значащей цифры.

Свойства погрешностей.

Имеются следующие правила для нахождения погрешностей.

1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

Т.е., если u = x₁ ± x₂ ± …± x_n , то

Отсюда следует, что предельная, что предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного слагаемого, т.е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность.

2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

3. Относительная погрешность частного нескольких приближенных чисел не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Универсальный математический пакет программ MathCad: основные сведения.

Пакет программ MathCAD позволяет выполнять математические расчеты с помощью компьютера в операционной системе Windows.

MathCAD включает три редактора – формульный, текстовый и графический. Благодаря этим пакетая обеспечивается принятый в математике способ задания функций и получение результатов вычислений в виде таблиц и графиков.

MathCAD включает множество операторов, позволяющих осуществлять решение разнообразных математических задач.

Возможны два типа вычислений в среде MathCAD, осуществляемые с помощью формульного редактора: численный и символьный. При первом результат получается в виде числа, при втором – в виде математического выражения. При этом можно:

• оперировать с действительными и комплексными величинами;

• решать всевозможные алгебраические задачи;

• разлагать функции в ряды Тейлора и Фурье;

• выполнять действия с векторами и матрицами;

• осуществлять логические операции;

• производить дифференцирование и интегрирование функций;

• осуществлять преобразования Фурье и Лапласа;

• производить статистические вычисления;

• производить аппроксимацию функций, заданных по точкам;

• решать задачи, относящиеся к линейному и нелинейному программированию и связанные с поиском глобального экстремума функции цели.

После запуска текстового пакета MathCAD появляется окно с тремя строками: меню, стандартная и форматирование.

Обращаю внимание на меню вид. Это меню содержит подменю, специфическое для программы MathCAD. В первую очередь сюда относится подменю «пакеты инструментов». Это подменю указывает, какие операции можно производить в среде MathCAD. Наличие «птички» перед строкой подменю вызывает появление подменю, с указанием конкретных действий, которые может производить программа. В общей сложности можно вызвать 10 панелей инструментов.

Арифметика

Графика

Матрицы

Оценка

Исчисление

Булево

Программирование

Греческий алфавит

Символы

Модификаторы.