- •Численные методы.
- •Действия над приближенными числами.
- •Относительная погрешность.
- •Число верных знаков.
- •Округление чисел.
- •Свойства погрешностей.
- •Универсальный математический пакет программ MathCad: основные сведения.
- •Примеры вычислений в среде MathCad.
- •Найти обратную матрицу
- •Построить график функции
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •Программа на языке qbasic
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод простых итераций (метод последовательных приближений).
- •То итерационный процесс
- •Предельное значение
- •Геометрическая иллюстрация метода итераций.
- •Интерполяция функций. Многочлен Лагранжа.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Блок-схема программы вычисления процедуры-функции lx() вычисления многочлена Лагранжа k – й степени в точке х1.
- •Интерполяционная функция Ньютона.
- •Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Текст программы на языке qbasic для вычисления среднего квадратического отклонения.
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •Текст программы решения системы уравнений методом Гаусса на языке qbasic.
- •Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Формула прямоугольников.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле прямоугольников.
- •Текст программы на языке qbasic интегрирования по формуле прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле Симпсона
- •Текст программы на qbasic интегрирования по формуле Симпсона.
- •Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Блок-схема программы вычисления решения дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта.
- •Блок-схема процедуры-функции метода Рунге-Кутта.
- •Расчетные формулы для метода Рунге- Кутта.
- •Результаты работы программы
- •Одномерная оптимизация.
- •Метод дихотомии.
- •Текст программы нахождения минимума методом градиентного спуска.
Примеры вычислений в среде MathCad.
-
Вычислить косинус угла, равного 0,5 радиан. Вызываем панель Калькулятор. Щелчок по кнопке cos. В скобку вписываем 0,5 и вводим знак =.
-
Вычислить
-
Получить из заданной матрицы размером 3 х 3 транспонированную матрицу.
Вызываем панель инструментов «Матрица». Делаем щелчок по пиктограмме, на которой изображена матрица. Обрамляем запись синей линией, и щелкаем по пиктограмме , вводим знак равенства, после чего получаем результат.
-
Найти определитель матрицы.
Записываем матрицу. Щелчок по пиктограмме |X|.
-
Найти обратную матрицу
Можно получить результат, когда все элементы матрицы записаны в виде десятичных дробей. Формат, Результат, Десятичная, уровень точности. Указать число знаков после запятой
В среде MathCAD можно производить операции над символьными выражениями.
-
Дана матрица. Найти определитель матрицы, найти обратную и транспонированную матрицы.
Вызываем панель инструментов Матрица. Указываем размеры и записываем матрицу. Открываем панель « Символьная». Делаем щелчки по M -1, |M| и M T.
С помощью панели «Символьная» можно получить несколько членов разложения функции в ряд Маклорена
-
Разложить в ряд Маклорена функции y = ln(2 + x) и по степеням x.
Набираем нужную функцию на панели «Символьная» выбираем ключевое слово series , после щелчка по этому слову к записи добавляется это слово и символический знак равенства →, далее следует указать переменную х, по которой происходит разложение в ряд, и число необходимых членов ряда.
Используя панель «Графика», можно построить графики функций.
-
Построить график функции f(x) = A e –α x sin(ωx + φ).
Это так называемая «функция пользователя» в отличие от стандартных функций в среде MathCAD.
Вид функции пользователя:
Слева название функции (с параметрами в скобках)
справа оператор присваивания =: вычисляемое выражение.
Постоянные величины, входящие в правую часть, должны быть заданы численно левее и выше функции пользователя.
Вызываем панели «Калькулятор», «Греческий алфавит», записываем исходные данные и функцию. Вызываем панель» График», щелкаем по пиктограмме «Декартов график». Внизу появившейся рамки, на месте черного квадратика пишем имя аргумента – x, а слева от оси ординат – имя функции f(x). Далее устанавливаем границы изменения переменных. После щелчка правой кнопкой вне графика появляется окно, которое позволяет отредактировать вид графика.
В среде MathCAD можно строить графики разрывных функций. При этом можно использовать различные способы задания функций. Рассмотрим способ задания с помощью оператора if с панели «Программирование».
-
Построить график функции
Записываем имя функции F(x) и оператор присваивания =:, вызываем панель «Программирование» и щелкаем по кнопке «Add lines», в верхнем квадратике вписываем 2, на панели «программирование» щелкаем по кнопке «if» и вписываем условие, при котором функция равна 2, в нижнем поле ввода вписываем 0 и нажимаем по кнопке «otherwise».
функция равна 2, в нижнем поле ввода вписываем 0 и нажимаем по кнопке «otherwise». Функция готова. Аналогично предыдущему можно построить график этой функции
Решение системы линейных уравнений с использованием пакета MathCAD.
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
Найдем матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных
Как известно, если определитель системы не равен нулю, решение системы в матричном виде записывается
X = A -1∙ B.
Здесь А -1- обратная матрица к матрице А.
П р и м е р.
Находим матрицы А, Х и В.
, ,
Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1, x4 = -2.