Относительная погрешность.

Абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности вычислений. Так, например, если при измерении двух стержней получены результаты l_{1 =} 100,8 см ± 0,1 см и l₂ = 5,2 см ± 0,1, то несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Для определения точности данных вычислений вводят понятие относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А ≠ 0), т.е.

(5)

Предельной относительной погрешностью δ_a приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа.

δ ≤ δ_a

Отсюда

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять

Δ_а = |А| δ_a (6)

Т.к. на практике А ≈ а то Δ_а = |a| δ_a. Отсюда

A = a (1 ± δ_a ).

Число верных знаков.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа, не причисляются к значащим цифрам.

П р и м е р 1. В числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами т.к. они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, т.к. первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10^-6 . В случае, если в числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число следует записать в виде 0,00208.

П р и м е р 2 . Чтобы показать, что число 0,734 имеет пять верных значащих цифр, его нужно записать так 0,73400. В этом случае два последних нуля являются значащими цифрами, т.к. они представляют сохраненные десятичные разряды.

При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Так в числе 32700 могут быть три значащих цифры, если, например, оно получилось от округления числа 32712, или пять значащих цифр, если оно является приближенным числом, абсолютная погрешность которого не превышает 0,5. Чтобы избежать неопределенности с числом значащих цифр, в первом случае число следует записать в виде 3,27∙ 10⁴, а во втором 3,2700 ∙ 10⁴.

Вообще такая запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей. Например, 0,000000120 = 1, 20 ∙ 10^-7.

При вычислении на компьютере приближенные вычисления содержат много десятичных знаков. Возникает вопрос, сколько десятичных знаков следует удерживать для достижения требуемой точности.

Определение. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n –й значащей цифрой, считая слева направо.

Например, для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближением с тремя верными знаками, т.к. |A – a| = 0,03 < ½ ∙ 0,1.

Термин «n верных знаков» нельзя понимать буквально, т.е. в том смысле, что в приближенном числе n первых значащих цифр будут совпадать с соответствующими цифрами точного числа. Например, приближенное число а = 9,995, заменяющее точное число А = 10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны.