- •Численные методы.
- •Действия над приближенными числами.
- •Относительная погрешность.
- •Число верных знаков.
- •Округление чисел.
- •Свойства погрешностей.
- •Универсальный математический пакет программ MathCad: основные сведения.
- •Примеры вычислений в среде MathCad.
- •Найти обратную матрицу
- •Построить график функции
- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.
- •Программа на языке qbasic
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод простых итераций (метод последовательных приближений).
- •То итерационный процесс
- •Предельное значение
- •Геометрическая иллюстрация метода итераций.
- •Интерполяция функций. Многочлен Лагранжа.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Блок-схема программы вычисления процедуры-функции lx() вычисления многочлена Лагранжа k – й степени в точке х1.
- •Интерполяционная функция Ньютона.
- •Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов.
- •Текст программы на языке qbasic имеет вид
- •Текст программы на языке qbasic для вычисления среднего квадратического отклонения.
- •Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
- •Текст программы решения системы уравнений методом Гаусса на языке qbasic.
- •Приближенное вычисление определенных интегралов.
- •Формула прямоугольников.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле прямоугольников.
- •Текст программы на языке qbasic интегрирования по формуле прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле Симпсона
- •Текст программы на qbasic интегрирования по формуле Симпсона.
- •Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
- •Метод Эйлера.
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Блок-схема программы вычисления решения дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта.
- •Блок-схема процедуры-функции метода Рунге-Кутта.
- •Расчетные формулы для метода Рунге- Кутта.
- •Результаты работы программы
- •Одномерная оптимизация.
- •Метод дихотомии.
- •Текст программы нахождения минимума методом градиентного спуска.
Текст программы на языке qbasic интегрирования по формуле прямоугольников.
Формула трапеций.
Более точное значение интеграла получится, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной такой, что криволинейная трапеция заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций.
y2 y i y i+1 y n
y1
y0
x0= a x1 x2 .... x i x i + 1 ... b = x n
Разобьем интервал [a, b] на n равных частей. Длину частичного интервала обозначим
h = (b – a) / n
(*)
Число n выбирается произвольно. Чем больше будет это число и, следовательно, чем меньше будет шаг h, тем с большей точностью формула (*) будет давать значение интеграла.
Аналогично формуле прямоугольников, для оценки погрешности применим метод Рунге. По формуле (*) проводим вычисления дважды: при вычислениях на n и на 2n частей; приближенные значения интеграла обозначим соответственно J n и J2n . С помощью метода Рунге было доказано, что погрешность при этом удовлетворяет неравенству
Формула парабол (формула Симпсона, 1710-61, Англия).
Большей точностью обладает квадратурная формула или формула парабол (или формула Симпсона). Разобьем отрезок [a, b] на четное число равных частей n = 2m.
Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0, x1] и [x 1, x 2] и ограниченной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой с осью симметрии, параллельной оси Оу. Эта парабола проходит через точки М(x 0, y0), M1(x 1, y1) и M2(x 2, y2).
y
M3 M4
M
M5 y =f(x)
M1 M2
M6
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b x
Чтобы написать уравнение этой параболы, используем многочлен Ньютона второго порядка
h = (b – a) / 2n
Δy0 = y1 – y0, Δ2y0 = Δy1 – Δy0 = y2 – y1 – y1 + y0 = y2 – 2y1 + y0.
Площадь под параболой имеет вид
Вернувшись к основной задаче, аналогично, получим
Складывая левые и правые части, получим
. (**)
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно, но чем больше m, тем точнее формула Симпсона дает значение интеграла.
Аналогично формулам прямоугольников и трапеции, для оценки погрешности применим метод Рунге. По формуле (**) проводим вычисления дважды: при вычислениях на n и на 2n частей; приближенные значения интеграла обозначим соответственно J n и J2n . С помощью метода Рунге было доказано, что погрешность при этом удовлетворяет неравенству
Блок-схема программы вычисления интеграла по формуле Симпсона
Описание оператора
функции
Ввод a, b – пределы интегрирования
a, b, E Е – заданная точность вычисления
интеграла
n = 2
h = (b – a)/ n
s = (f(a) + 4*f((a + b)/2 +f(b))*(h/3) s –значение интеграла
n = 2*n, h = (b – a)/ n
s1 = s, c = 4, x = 0
s = f(a) + f(b)
i = 1, n - 1
x = x + h
s = s + c*f(x)
c = 6 – c
.
да |s – s1|/15 >= E
Вывод
s, n.
end
П р и м е р . Вычислить используя формулу Симпсона . Погрешность Е=0. 0001. Ответ формулы =0.5673363, n = 256.