1.3. Понятие о законе распределения случайной величины

С вероятностной точки зрения случайная величина может быть описана, если известны не только значения, какие она может принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения. Другими словами, нужно задать закон распределения случайной величины.

В теории вероятностей под законом распределения случайной величины понимается любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Законы распределения могут быть выражены в табличной, графической и аналитической формах.

Графическая форма закона распределения состоит в том, что по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений. Полученная таким образом фигура (рис. 1.2) называется многоугольником или полигоном распределения. При этом сумма ординат многоугольника, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. В математической статистике полигон распределения представляет собой ломаную линию, соединяющую частоты вариационного ряда, т.е. выборки, по­строенной в порядке возрастания ее отдельных значений.

Табличная форма закона распределения аналогична графической форме, только в этом случае возможные значения случайной величины X и соответствующие им вероятности p задаются в виде таблицы.

Аналитическая форма закона распределения описывается функцией распределения F(х), которая определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньше некоторого числа x, т.е.

F(x) = р(X<x), (1.1)

где р – вероятность, понимаемая применительно к выборочным данным как частота события. Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) представляет вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Обычно функцию распределения (1.1) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом. Она может быть использована как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Еще раз подчеркнем, что функция распределения представляет наиболее общую форму описания случайной величины и полностью характеризует ее с вероятностной точки зрения.

Функция распределения обладает следующими основными свойствами:

Свойство 1. Значения функции распределения заключены в диапазоне [0,1], т.е. 0F(x)1.

Это означает, что F(x) =0, если x  - и F(x) = 1, если x  .

Свойство 2. Функция F(x) является неубывающей, т.е. если x₁<x₂, то F(x₁)F(x₂).

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [а,b], равна приращению функции распределения на этом интервале:

р(а X <b) = F(b) – F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a,b], то F(x) = 0 при х  а и F(x) = 1 при х  b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: F(x) = 0 при х→-∞ и F(x) = 1 при х→ ∞.

Для непрерывной случайной величины график этой функции представляет непрерывную кривую, монотонно возрастающую от нуля до единицы (рис. 1.3, а). Для дискретной случайной величины функция распределения является ступенчатой функцией, непрерывной слева. При этом функция имеет разрыв в точках, совпадающих с возможными значениями случайной величины, а величины скачков совпадают с соответствующими вероятностями, т.е. p_i = p(X=x_i). График этой функции приводится на рис. 1.3, б.

Заметим, что в гидрометеорологических расчетах иногда используется функция обеспеченности, обратная функции распределения

Р(x) = р(X ≥ x) = 1  F(x). (1.2)

Естественно, что кривая обеспеченности симметрична кривой функции распределения и пересекается с ней при F(x) = Р(x) = 0,5.

Недостатком функции распределения является то, что она, являясь функцией “накопленной вероятности”, не отражает распределения вероятностей по отдельным значениям случайной величины и не показывает, как часто появляются те или иные ее значения. Этого недостатка лишена плотность распределения вероятностей, называемая также дифференциальной функцией распределения (законом распределения), представляющая собой первую производную от F(x)

(1.3)

Отсюда видно, что плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины X в интервал x, x+x к величине x при x0. График плотности распределения (рис. 1.4) называется кривой распределения.

К основным свойствам плотности распределения относятся:

Свойство 1. Плотность распределения является неотрицательной функцией, т.е. f(x)  0;

Свойство 2. Интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах равен 1, т.е.

.

Это означает, что полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Распределение может быть теоретическим или эмпирическим (статистическим). Если известны истинные значения вероятностей случайной величины, то такое распределение является теоретическим. Однако во многих случаях истинные оценки вероятностей неизвестны, но тем не менее представляется возможным получить их приближенные оценки на основе опытных данных. Распределение вероятностей, полученных из опытных (эмпирических) данных достаточно большого объема, называется эмпирическим распределением случайной величины.

В этом случае под эмпирической функцией распределения понимается любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины Х и соответствующими им относительными частотами события Х < x. Отсюда следует, что

F(x) = n_x / n, (1.4)

где n_x – число вариант (значений), меньших х. Таким образом, различие между F(x) и F(x) состоит в том, что первая определяет вероятность события Х < x, а вторая определяет относительную частоту этого же события. Заметим также, что свойства эмпирической функции полностью совпадают со свойствами теоретической функции распределения.