2. Понятие генеральной и выборочной совокупностей

Генеральная совокупность – это весь мыслимо возможный набор случайной величины. Генеральная совокупность может быть как конечного, так и бесконечного объема. Применительно к природной среде в качестве генеральной совокупности обычно используется совокупность бесконечного объема. Это связано с тем, что мы не имеем надежных сведений о начале образования и дальнейшей эволюции природной среды и тем более не можем предсказать ее конец. Впрочем, в некоторых случаях генеральная совокупность характеристик природной среды имеет конечный объем. Например, генеральная совокупность для температуры и влажности воздуха в конкретном здании всегда является конечной, поскольку началом ее служит дата его постройки, а концом – момент разрушения или перестройки. Принято считать, что все характеристики генеральной совокупности являются истинными. Заметим, что хотя понятие генеральной совокупности представляет собой математическую абстракцию, оно является основным в теории вероятностей, а также широко используется в выводах и при решении различных задач статистики. Далее в целях удобства истинные (теоретические) оценки при необходимости их сопоставления с выборочными аналогами будем обозначать полужирным шрифтом. Отметим, что в статистике под оценкой принято понимать любое числовое значение случайной величины или случайной функции.

Выборочная совокупность – любая последовательность значений случайной величины, извлеченная из генеральной совокупности. Другими словами – это любой статистический (в частности, временной) ряд, имеющий конечную длину. Следовательно, параметры такого ряда являются выборочными параметрами. Очевидно, что выборочная оценка параметра θ стремится к истинной оценке θ при n∞, где n – длина выборки. Если выборка достаточно точно отражает основные закономерности, присущие генеральной совокупности, то она считается представительной (репрезентативной). В этом случае выборочные параметры должны быть близкими к их истинным оценкам. Степень такой «близости» или, другими словами, степень «надежности» выборочных параметров обычно регламентируется с помощью следующих трех свойств статистических оценок: состоятельности, несмещенности и эффективности.

Несмещенность. Оценка параметра θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание, т.е. центр распределения генеральной совокупности случайной величины, равно истинной величине оцениваемого параметра. Сказанное можно записать как М(θ) = θ. В противном случае оценка является смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка θ, полученная по разным выборкам, будет либо завышать значение параметра θ, либо занижать его. Следовательно, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании параметров. По существу требование несмещенности означает, что выборочная средняя должна совпадать с ее истинной оценкой, т.е. с математическим ожиданием. В результате имеемθ = М(θ)=m_θ.

Состоятельность. Оценка параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. при неограниченном возрастании объема выборки сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е.

lim р[|θ - θ| <  ] = 1,  > 0,

^n∞

где  - сколь угодно малое наперед заданное положительное число. Требование состоятельности означает, что с увеличением объема выборки рассеивание оценок θ относительно математического ожидания будет уменьшаться и при достаточно большом значении n отклонение θ от θ при доверительной вероятности р1 должно быть меньше любого наперед заданного числа. Отсюда следует асимптотический характер свойства состоятельности – проявляться лишь при неограниченном возрастании объема выборки. Таким образом, если оценка состоятельна, то с большой степенью достоверности можно считать, что при значительном объеме выборки θθ.

Эффективность. Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если она при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того объема n, т.е. D[θ]=D_min. Это означает, что эффективная оценка имеет меньшую вероятность появления грубой ошибки при определении параметров распределения.

Для эффективности оценки самым важным является задание закона распределения. Следует иметь в виду, что эффективная оценка параметра генеральной совокупности для одного закона распределения не совпадает с эффективной оценкой параметра другого распределения.

Итак, если статистические параметры выборки отвечают указанным выше требованиям, то они считаются «хорошими» в статистическом смысле, а сама выборка является репрезентативной. Заметим, что оценка выборочной средней случайной величины обладает всеми тремя выше перечисленными свойствами: она является несмещенной, состоятельной и эффективной. Оценка дисперсии состоятельна и эффективна, но имеет малое отрицательное смещение. Поэтому для выборок небольшого объема (п < 25–30) вместо п целесообразно использовать п–1, что позволяет устранить смещение.

Исследование свойств выборочных характеристик позволило установить, что в асимптотическом смысле, т.е. при неограниченном увеличении объема выборки, ее основные характеристики с ростом объема выборки стремятся к своим теоретическим аналогам и ведут себя при этом как нормально распределенные случайные величины.