Свойства алгебры Жегалкина

1. Коммутативность

x  y = y  x

x & y = y & x

2. Дистрибутивность

x & (y  z)= x & y  z & x

3. Идемпотентность

x  x = 0

x  0 = x

x & x = x

Для алгебры Жегалкина характерно

= x  1

x  y = x & y  x  y

Определение. Формула, имеющая вид полинома со сложением по модулю 2 называется полиномом Жегалкина для функции алгебры логики.

Замечание. От булевой формулы всегда можно перейти к полиному Жегалкина.

5.3. Минимизация функций алгебры логики

Работа автомата может быть полностью описана с помощью следующей системы функций алгебры логики [7]:

y₁= f₁ (x₁ ... x_n )

y₂= f₂ (x₁ ... x_n )

...

y_m= f_m (x₁ ... x_n )

Здесь Pi = ( X1, X2, ...,Xn ); Qj = ( y1, y2, ...,ym ) - соответственно входное и выходное слово . Работа автомата может быть задана либо в виде конечных таблиц, либо в виде аналитической записи функций f_{i .}

Проблема полноты системы функций эквивалентна проблеме выбора стандартного набора элементов, из которого будет строиться автомат, при этом все функции f_i должны быть выражены через базисные функции. Уменьшение числа функций в базисе приводит к уменьшению стандартных элементов, на которых строится схема, однако, при этом увеличивается общее число элементов схемы. Возникает задача о “простейшем” представлении логических функций через систему базисных функций. Для этого используют методы минимизации:

• метод вынесения за скобки;

• метод неопределенных коэффициентов;

• метод с использованием карт Карно;

• метод Мак - Класки;

• метод Блэка.

Рассмотрим метод минимизации СДНФ с помощью карт Карно. Карта Карно - это диаграмма, состоящая из 2ⁿ квадратов, где n - число переменных. Клетка карты - одна из возможных конъюнкций, входящих в СДНФ. Минимизация на основе карт Карно осуществляется путем локализации на карте прямоугольных областей из числа клеток кратного 2.

Для работы с картой необходимо по таблице истинности составить СДНФ, затем для каждой элементарной конъюнкции проставить 1 в соответствующие клетки карты. Затем единицы объединяются таким образом, чтобы минимизировалось число логических сложений, умножений или отрицаний, что важно для экономного конструирования ЭВМ.

Для двух переменных: Для трех переменных:

a a

c

b

b

Для четырех переменных:

a

c

c d

d

b

Пример. Для логической функции заданной таблицей

x1	x2	x3	f
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	1
0	1	1	1

построить карту Карно и на ее основе минимизировать функцию.

Решение. Построим карту согласно описанным выше правилам.

x₁

1 1 f = x1 v x2 & x3

x_{2 1 1 1}

x₃

Рассмотрим пример представления простейшей функции картой Карно

a

c 1 1

c 1 1 d

f = b

1 1 d

1 1

b

Рассмотрим построение логической схемы для функции вида:

f1 = V2 & V4 v V3 & V1 & V2 v V3 & V4 & V1.

V1

V2

V3

V4

& & & & &

& &

&

&

1

1

f1