4.3. Задачі до розділу 4

Задача 4.1. Диск обертається навколо центральної осі рівноприскорено із стану спокою. В момент часу c його кутова швидкість с^-1. Скільки обертів зробив диск від моменту часу с до моменту с.

Розв’язання. В початковий момент часу маємо

; .

Основні кінематичні співвідношення для рівнозмінного обертального руху (4.9), (4.10) запишуться у вигляді

; ,

де – стале кутове прискорення диска.

З умови задачі визначаємо

або

с.

Обчислюємо значення кута повороту диска в моменти часу і

(рад); (рад)

Число обертів диска визначаємо за формулою

(обертів).

Задача 4.2. Два зубчастих колеса радіусами і мають зовнішнє зачеплення. Колесо 2 жорстко з'єднане з валом радіусом , на який намотано мотузку, що охоплює блок і закріплена в точці . До осі блока прикріплено вантаж . Колесо 1 обертається навколо центральної осі з сталим кутовим прискоренням і приводить в рух всю систему (рис. 1). Визначити прискорення вантажу .

Р

Рис. 1. До розв’язку задачі 4.2.

озв’язання. Оскільки колеса 1,2 обертаються без пробуксовки, їх точки, які розміщені на ободі, мають однакові тангенціальні прискорення

.

З останньої рівності знаходимо

,

де – кутове прискорення колеса 2. Це колесо нерухомо з’єднано з валом 3, тому вони мають однакові кутові прискорення

.

Визначаємо тангенціальне прискорення точки

.

Точки і належать мотузці, яка не розтягується, тому

.

Точка мотузки в кожен момент часу нерухома, тому рух блока можна розглядати як миттєвий обертальний рух навколо точки Е.

При обертальному русі прискорення точок вздовж радіуса обертання змінюється за лінійним законом. Тому маємо

.

Задача 4.3. Кривошип чотириланкового механізму обертається навколо точки з частотою 150об/хв. м; м; м; м. Визначити кутові швидкості ланок і в момент, коли (рис. 2).

Р

Рис. 2. До розв’язку задачі 4.3.

озв’язання. При заданих розмірах ланок в чотирикутнику кути при вершинах , прямі.

Кутова швидкість ланки визначається за формулою

с^-1.

Ланка здійснює обертальний рух навколо точки О, тому

(1)

, .

Аналогічні залежності можна записати для ланки

(2)

, .

Ланка здійснює плоскопаралельний рух, який можна розглядати як миттєвий обертальний навколо МЦШ. Для побудови МЦШ знаходимо точку перетину перпендикулярів, проведених до векторів і .

П

(3)

означивши через кутову швидкість миттєвого обертального руху ланки навколо точки , можна записати

.

Порівнюючи співвідношення (1) і (3), визначаємо

; с^-1.

Тоді

м/с.

З умови (2) знаходимо

с^-1.

Для визначення величин і розглянемо прямокутні трикутники і . Умову їх подібності запишемо у вигляді

.

Підставляючи числові значення, одержимо

.

Розв’язуючи відповідну систему рівнянь, знаходимо м, м.

Тоді

с^-1; с^-1;

м/с.

Напрямки лінійних і кутових швидкостей показано на рис 2.

Задача 4.4. Кривошип обертається навколо точки із сталою кутовою швидкістю с^-1. м; м; м; м. Визначити кутові прискорення ланок і в той момент, коли точка належить прямій і розміщена зліва від точки (рис. 3).

Р

Рис. 3. До розв’язку задачі 4.4.

озв’язання. В заданому положенні механізму , тому що . При цьому

, .

Ланка здійснює обертальний рух відносно точки , тому

м/с, .

Аналогічний рух відносно точки здійснює ланка

, .

Ланка здійснює плоскопаралельний рух і для неї має місце теорема Ейлера

(1)

Тут – обертальна швидкість точки навколо точки , причому

, .

Спроектуємо векторне рівняння (1) на пряму і пряму

: ; : .

З одержаної системи визначаємо

м/с; м/с.

Тоді

с^-1; с^-1.

Напрямки лінійних швидкостей точок і кутових швидкостей ланок зображено на рис. 3.

Для визначення прискорень запишемо теорему Ейлера для ланки

(2)

.

Тут

м/с²; ;

(рух кривошипа рівномірний);

м/с²; ;

; ;

м/с²; ;

; .

Проектуючи векторну рівність (2) на прямі і , знаходимо

: ; : .

Підставляємо числові значення відомих прискорень

м/с²; м/с².

Кутові прискорення ланок визначаємо за формулами

с^-2; с^-2.

Напрямки кутових прискорень зображено на рис 3.