З

Рис. 4.2. Обертальний рух твердого

Тіла навколо нерухомої осі

означення випливає, що довільна пряма, яка належить тілу і паралельна осі обертання описує в процесі руху кругову циліндричну поверхню. При цьому всі точки цієї прямої мають однакові швидкості, прискорення і траєкторії. Точки осі обертання залишаються нерухомими.

Для визначення положення тіла, що здійснює обертальний рух, проведемо через вісь обертання дві півплощини: одну нерухому, а іншу рухому, яка проходить через точки тіла і обертається разом з ним.

Тоді положення тіла в довільний момент часу буде визначатися положенням рухомої півплощини, або кутом між рухомою і нерухомою півплощинами (рис. 4.2). Кут будемо називати кутом повороту тіла і вважати додатнім якщо він відкладений від нерухомої півплощини в напрямку протилежному ходу годинникової стрілки. Кут повороту вимірюється в радіанах .

Оскільки положення твердого тіла в просторі однозначно визначається положенням трьох неколінеарних його точок, то в розглядуваному русі достатньо визначити положення довільної точки , яка не належить осі обертання.

Розглянемо переріз тіла площиною, яка проходить через точку перпендикулярно до осі обертання (рис. 4.3).

Рис. 4.3. До обертального руху твердого

Тіла навколо нерухомої осі

Рис. 4.4. До обертального рух твердого

Тіла навколо нерухомої осі

Нехай положення точки в момент часу . Положення точки буде визначено, якщо буде відома функція , яка визначає закон обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Зауважимо, що кут буде однаковим для всіх точок розглядуваного кола (рис. 4.3), отже і для всіх точок тіла. Це випливає із означення абсолютно твердого тіла, для якого

.

Тому

і .

Останні співвідношення показують, що

.

К

(4.4)

утова швидкість і кутове прискорення тіла. Нехай рух твердого тіла задано рівняннями

.

Розглянемо два моменти часу та , яким відповідає два положення точки , що визначаються кутами та . Приріст кута повороту точки за час визначається співвідношенням (рис. 4.4).

Середньою кутовою швидкістю точки за час будемо називати відношення

.

Границя цього відношення при називається кутовою швидкістю точки в момент часу

(4.5)

.

Одиниця виміру кутової швидкості рад/с.

Кутова швидкість є функція часу . Похідна від неї по часу називається кутовим прискоренням точки :

(4.6)

.

Одиниця виміру кутового прискорення рад/с².

Оскільки кут повороту не залежить від вибору точки, то всі точки твердого тіла при його обертальному русі навколо нерухомої осі будуть мати однакові кутові швидкості і прискорення. Тому в подальшому величини та будемо називати відповідно кутовою швидкістю і кутовим прискоренням твердого тіла.

Зауважимо, що в залежності від напрямку обертання кутова швидкість може бути додатною або від’ємною. В ті моменти часу, коли тіло обертається в додатному напрямку.

Якщо , то обертальний рух твердого тіла називається прискореним, при – сповільненим.

Лінійні швидкості і прискорення точок при обертальному русі тіла. Нехай обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі задано рівнянням

.

Розглянемо в тілі довільну точку , яка віддалена від осі обертання на величину (рис. 4.5).

Рух точки по траєкторії задано натуральним способом

.

Тому на підставі (3.20) одержимо такі кінематичні формули для визначення швидкості і прискорення точки