3.2. Кінематичні характеристики руху точки

3.2.1. Швидкість точки. Нехай рух матеріальної точки відносно вибраної системи відліку задано векторним рівнянням . Розглянемо момент часу , якому відповідає вектор і точка на траєкторії. Надамо часу приросту . Часу відповідає вектор і точка на траєкторії. Точки і визначають вектор , який називається приростом вектора за час . Зауважимо, що вектор залежить від (рис. 3.4).

Величина називається вектором середньої швидкості матеріальної точки за час .

Границя цього вектора при називається вектором миттєвої швидкості точки в момент часу

(3.5)

В довільний момент часу формулу (3.5) можна записати у вигляді

(3.6)

На підставі (3.6) можна зробити такий висновок: вектор швидкості руху матеріальної точки в довільний момент часу, дорівнює похідній від радіус-вектора точки в цей же момент часу і характеризує зміну положення точки відносно вибраної системи відліку з часом.

В

Рис. 3.4. Переміщення

Матеріальної точки

ектор напрямлений вздовж січної . При зменшенні січна буде обертатися навколо точки і в граничному положенні стане дотичною до траєкторії в точці . Таким чином, вектор швидкості точки напрямлений вздовж дотичної до траєкторії в напрямку руху.

Вектори і завжди прикладені до матеріальної точки.

Припустимо, що рух матеріальної точки задано координатним способом

; ;

Позначимо через проекції вектора її швидкості на координатні осі. Тоді на підставі (3.6) маємо

П

(3.7)

рирівнявши відповідні координати в лівій і правій частинах, одержимо

; ;

Величину вектора швидкості і кути які він утворює з координатними осями відповідно визначаємо за формулами векторної алгебри

(3.8)

; ; ;

При натуральному способі задання руху точки рівняння руху має вигляд

На підставі формули (3.6) можна записати

.

Тут враховано, що . Таким чином,

(3.9)

Формули (3.6)-(3.9) дозволяють визначити вектор швидкості в будь-який момент часу при довільному способі задання руху точки.

3.2.2. Прискорення точки. Швидкість руху матеріальної точки в кожен момент часу характеризує зміну положення точки відносно вибраної системи відліку. Разом з тим швидкість руху точки є функцією часу. Тому для повного кінематичного аналізу руху точки необхідно ввести ще одну кінематичну характеристику яка називається прискоренням.

Нехай рух матеріальної точки задано векторним способом

; .

Р

Рис. 4.5. До визначення прискорення матеріальної точки

озглянемо момент часу , для якого визначимо вектор . Часу надамо приросту і визначимо вектор . Вектор називається приростом вектора за час (рис. 3.5).

Величину будемо називати вектором середнього прискорення за проміжок часу .

Границя при визначає миттєве прискорення матеріальної точки в момент часу

З врахуванням (3.6) цю формулу можна записати так

(3.10)

.

Вектор прискорення руху матеріальної точки дорівнює похідній по часу від вектора швидкості і характеризує зміну швидкості з часом. Він завжди прикладений до матеріальної точки.

Припустимо, що рух точки задано координатним способом

; ;

Позначивши через проекції на координатній осі прискорення , на підставі (3.10) одержимо

.

Порівняємо відповідні координати в лівій і правій частинах

(3.11)

; ;

Аналогічно до (3.8), величина і напрямок вектора визначаються за формулами:

(3.12)

; ; ; ,

де – кути, які утворює вектор з координатними осями відповідно.

Якщо рух матеріальної точки задано натуральним способом, то

; .

Позначимо через одиничний вектор дотичної до траєкторії в розглядуваній точці так, щоб виконувалася умова

.

Диференціюючи останню рівність по одержимо

(3.13)

Використаємо формулу Френе із курсу диференціальної геометрії

,

д

Рис. 5.6. До визначення прискорення матеріальної точки

е – радіус кривини траєкторії в розглядуваній точці; – вектор головної нормалі траєкторії, який перпендикулярний до і напрямлений до центра кривини траєкторії (рис. 3.6). В результаті простих перетворень із (3.13) одержимо

(3.14)

.

О

Рис. 6.7. До визначення прискорення матеріальної точки

стання формула показує, що вектор прискорення розкладається на дві складові, одна з яких напрямлена вздовж дотичної до траєкторії і називається дотичним (тангенціальним) прискоренням , а інша, яка напрямлена по головній нормалі, називається нормальним прискоренням (рис. 3.7)

; .

Величини цих складових і повного прискорення обчислюються за формулами

(3.15)

; ; .

Зауважимо, що при , а при .