Д

Рис. 5.7. До додавання

Обертального та поступального рухів

ля побудови цієї осі вектор замінимо парою кутових швидкостей таких, що а (рис. 5.7). При цьому відстань визначаємо із рівності , звідки

.

Вектори при додаванні дають нульовий вектор і ми одержуємо, що рух тіла можна розглядати як миттєве обертання навколо осі з кутовою швидкістю .

2. Гвинтовий рух. Якщо складний рух тіла складається з обертального руху навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю і поступального руху з швидкістю , яка напрямлена вздовж осі (), то такий рух тіла називається гвинтовим. Вісь називається віссю гвинта. Якщо , то гвинт називається правим, при – лівим. Кожна точка при гвинтовому русі описує гвинтову лінію. Швидкість довільної точки , яка розміщена на відстані від осі гвинта обчислюється за формулою

.

Напрямлена швидкість по дотичній до гвинтової лінії (рис. 5.8).

3. Швидкість поступального руху утворює довільний кут з віссю обертання (рис. 5.9 а). Розкладемо вектор на складові так, що , а . Замінивши швидкість парою кутових швидкостей та , одержимо після відкидання , що тіло здійснює обертальний рух навколо осі і поступальний рух з швидкістю , тобто гвинтовий рух навколо осі з кутовою швидкістю і поступальною швидкістю (рис. 5.9 б). Відстань при цьому визначається за формулою (5.9)

.

Рис. 5.9. До додавання обертального та поступального рухів

5.3. Задачі до розділу 5

Задача 5.1. Кривошип довжиною 0,25 м рівномірно обертається навколо точки з кутовою швидкістю с і приводить в рух кулісу . Визначити швидкість і прискорення точки , якщо м, м і в даний момент м (рис. 1).

Рис. 1. До розв’язку задачі 5.1.

Розв’язання.

1. Визначення швидкостей. B заданому положенні механізму , так як

.

При цьому

м/с; ;

; .

Камінь куліси разом з точкою здійснює складний рух: відносний – поступальний з швидкістю вздовж напрямної і переносний – обертальний навколо точки разом з напрямною із швидкістю .

За теоремою про додавання швидкостей при складному русі, маємо

або

(1)

.

Із рис. 1 визначаємо

м/с.

З іншого боку

,

звідки

с^-1.

Тоді

м/с.

2. Визначення прискорень. Для повзуна , який здійснює складний рух, запишемо теорему про додавання прискорень

(2)

,

де

м/с²; ;

(рух кривошипа рівномірний);

м/с²; ;

м/с²; ;

; ;

.

Напрямки прискорень зображено на рис. 1. Спроектуємо векторну рівність (2) на пряму і пряму, перпендикулярну до .

: ; : .

Підставляємо числові значення

м/с²; м/с².

Тоді

с^-2.

Визначимо складові прискорення точки

м/с²; м/с².

Повне прискорення точки визначається за формулою

м/с².

Задача 5.2. Кільцева трубка радіусом м рівномірно обертається навколо діаметра з кутовою швидкістю с^-1. В середині трубки рухається рідина за законом (м). Визначити величину абсолютного прискорення частинки рідини в момент часу с (рис. 2).

Р

Рис. 2. До розв’язку задачі 5.2.

озв’язання. Частинка рідини здійснює складний рух. Розділимо цей рух на відносний і переносний «методом зупинки». За матеріальну точку виберемо частинку рідини. Рухомим твердим тілом будемо вважати трубку (з нею буде зв’язана рухома система відліку). Якщо умовно зупинимо рухому систему відліку (трубку), то одержимо відносний рух. Це буде рух частинки по колу за законом . Для відділення переносного руху умовно зупинимо частинку рідини. Це буде обертальний рух точки разом з трубкою навколо осі .

Запишемо кінематичні характеристики точки при її відносному і переносному рухах.

м/с; ; м/с²;

; ; ;

; ;

(обертальний рух рівномірний).

Прискорення Коріоліса визначаємо за формулою

,

де – кут між вектором і віссю .

Визначимо положення частинки в трубці при с

м.

Довжина трубки визначається із співвідношення

м.

Тоді

.

Це означає, що кут між векторами і дорівнює . Тоді

м.

Визначаємо числові значення швидкостей і прискорень точки в момент часу с

м/с; ; м/с²; м/с;

м/с²; ; м/с².

Напрямки швидкостей і прискорень для точки зображено на рис. 2.

Абсолютні швидкість і прискорення точки визначаємо за теоремами про додавання швидкостей і прискорень при складному русі точки

(1)

;

(2)

.

Оскільки , то

м/с;

Спроектуємо рівняння (2) на осі системи координат, побудованої в точці

м/с²; м/с²; м/с².

Тоді

м/с².

Задача 5.3. Кривошип здійснює рівномірний обертальний рух навколо точки з частотою об/хв, а зубчасте колесо 1 обертається в протилежному напрямку з частотою об/хв. Визначити частоту обертання колеса 2, якщо , ( – число зубців коліс 1 та 2 відповідно) (рис. 3).

Розв’язання. Колеса 1 та 2 перебувають в зачепленні, тому швидкість спільної точки однакова для обох коліс.

Для колеса 1

; .

В

Рис. 3. До розв’язку задачі 5.3.

изначаємо швидкість точки , яка одночасно належить кривошипу і колесу 2

; .

Колесо 2 здійснює складний (плоскопаралельний рух), який можна розглядати як миттєвий обертальний рух навколо МЦШ (в даному випадку точка ).

Позначивши через кутову швидкість колеса 2, можна записати

;

З останніх рівностей визначаємо

(1)

.

Оскільки радіуси коліс пропорційні числам їх зубців, то

; .

З умови (1) знаходимо

.

Помноживши останню рівність на , одержимо

об/хв.

Задача 5.4. Зубчасте колесо 1 закріплено нерухомо. Кривошип , обертаючись навколо точки з частотою об/хв, приводить в рух зубчасті колеса 2 і 3 (рис. 4). Визначити кутові швидкості цих коліс, якщо м; м; м.

Р

Рис. 4. До розв’язку задачі 5.4.

озв’язання: Визначаємо кутову швидкість кривошипа

с^-1.

Швидкості точок кривошипа визначаємо за формулами

м/с, ;

м/с, .

Такі ж самі швидкості мають точки якщо вони належать відповідним колесам.

Колесо 1 нерухоме, тому . Точка співпадає з МЦШ для колеса 2, яке здійснює складний (плоскопаралельний) рух. Для точок цього колеса маємо

; .

Тоді

с^-1; м/с.

Колесо 3 здійснює складний (плоскопаралельний) рух. Відомо швидкості двох його точок . Будуємо МЦШ для цього колеса (точка ).

Розглядаючи рух колеса 3 як миттєвий обертальний навколо точки з кутовою швидкістю , можна записати

;

або

.

Підставляємо числові значення

с^-1.