§ 4. Средняя кинетическая энергия молекул газа

В первом параграфе этого раздела получено основное уравнение молекулярно-кинетической теории, связывающее давление газа со средними значениями микроскопических характеристик в виде . С другой стороны, нам уже известен экспериментальный закон, устанавливающий, что давление газа можно выразить через макроскопические параметры (1.25) .

Из сравнения двух этих выражений, полученных различными путями, следует, что

, (1.32)

т.е. температура определяется средней кинетической энергией молекул. И температуру можно измерять в энергетических единицах, а постоянная Больцмана служит коэффициентом для перехода от энергетических единиц к измерению температуры по шкале Кельвина. Итак, макроскопическая величина - температура, определяется усредненным значением микропараметра - средней кинетической энергии. Кроме того, из (1.32) видно, что существует температура, при которой поступательное движение молекул должно полностью прекратиться, названная абсолютным нулем температур. Аналогичный вывод получен в §2 данного раздела при рассмотрении поведения давления при приближении к абсолютному нулю температур. Подчеркнем еще раз, что в действительности нулевые колебания никогда не прекращаются, как это следует из законов квантовой механики.

Обратимся к вопросу о средней кинетической энергии молекул идеального газа, которая, согласно (1.32), равна

. (1.33)

Из каких слагаемых эта энергия складывается? В тех случаях, когда молекулы идеального газа рассматриваются как материальные точки (позже мы встретимся с ситуацией, когда это не так), их движение может быть только поступательным. Поступательное движение молекулы идеального газа в трехмерном пространстве описывается тремя независимыми координатами (x, y, z), т.е. молекула имеет три степени свободы. При этом квадрат скорости отдельной молекулы можно представить как сумму квадратов проекций скорости на координатные оси. Это справедливо и для средних значений скорости . Запишем выражение для средней кинетической энергии молекулы в виде

. (1.34)

Здесь значения средней кинетической энергии молекулы, приходящейся на поступательное движение вдоль осей x, y и z соответственно.

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Основным признаком этого состояния служит отсутствие потоков в системе, т.е. в ней нет выделенных направлений движения молекул. Следовательно, в состоянии термодинамического равновесия

. (1.35)

Согласно (1.35) в таком же соотношении между собой находятся и средние значения кинетических энергий

. (1.36)

Последнее соотношение выражает теорему Максвелла о равнораспределении средней кинетической энергии молекул идеального газа по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия. Из выражений (1.36) и (1.33) следует, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия :

. (1.37)

Теорема рассмотрена нами применительно к идеальному газу, однако она справедлива для любой системы, структурные элементы которой подчиняются законам классической физики, как говорят, являются классическими частицами.

Выражения (1.34) и (1.37) позволяют установить, как определить средний квадрат скорости движения молекул идеального газа. Приравняем указанные соотношения и получим:

. (1.38)

Величина, равная корню квадратному из среднего квадрата скорости, называется средней квадратичной скоростью

. (1.39).

При комнатных температурах средняя квадратичная скорость движения молекул атмосферных газов составляет сотни метров в секунду.