2. Развитие модели Солнечной системы

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — "аксиомами" — гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по мере накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математическая) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (начало 17 века), который сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематическое описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й половине 17 века динамическую модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной Кеплером, так как из динамической системы двух тел "Солнце — планета" следуют законы Кеплера.

К 40-м годам 19 века выводы динамической модели, объектами которой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

3. Описание модели Солнечной системы

(29)

где – относительный радиус положения планеты относительно Солнца;

- безмерное время;

– параметр взаимодействия;

G – гравитационная постоянная;

- радиус перигелия;

- скорость планеты в перигелии.

Движение определяется одним параметром α1, который называется параметром траектории [5]. Его использование вместо эксцентриситета e оправдано тем, что уравнения взаимодействия и их решение приобретают общность как в случае сил, зависящих только от расстояния, так и в случае сил, которые зависят также и от скорости [6]. В таком виде оказалось удобным рассмотрение задачи многих тел, осесимметрично расположенных на плоскости [7].

Решение уравнения (29) в безразмерных переменных в полярной системе координат (рис. 1б), в полярной системе координат (рис. 1б), с началом в Солнце, имеет вид [5]:

для траектории:

(30)

и закона движения

(30)

Уравнение (30) при α₁ = -1 представляет окружность, при -1 < α₁ < -0.5 – эллипс, при α₁=-0.5 – параболу; при -0,5 < α₁ < 0 – гиперболу, а при α₁=0 – прямую.

Другие параметры определяются следующими равенствами:

/= , ,	(31)
	(32)
	(33)