11. Явные методы Милна

Многошаговый метод Милна четвертого порядка точности может быть реализован двумя различными способами:

или

Для начала расчетов по формулам указанным выше требуется четыре «разгонные» точки X₀, X₁, X₂, X₃. В методе Милна шестого порядка точности для расчета используется шесть предыдущих точек, которые могут быть найдены любым из предыдущих методов.

12. Явные методы Хемминга

Многошаговый метод Хемминга четвертого порядка точности может быть реализован тремя различными способами, в каждом из которых для нахождения точки используются четыре предыдущие точки:

или

или

Для начала расчетов по любой из формул указанных выше требуется четыре «разгонные» точки X₀, X₁, X₂, X₃.

13. Экстраполяционные методы

Экстраполяционные методы основаны на том факте, что глобальная погрешность численного решения порядка p допускает разложение в степенной ряд по h:

(28)

где - приближенное решение на отрезке k, полученное на равномерной сетке с шагом h.

Формула (28) представляет приближенное решение на фиксированном отрезке k, как функцию . Для этой функции .

Теоретически это означает, что при достаточно малом шаге можно любым методом получить приближенное решение со сколь угодно высокой точностью. С практической точки зрения использование очень малых шагов не разумно, поскольку, во-первых, это увеличивает объем вычислений, что, во-вторых, сопряжено с большими ошибками округления. Тем не менее, используя идею экстраполяции, можно получить с высокой точностью предельное значение , избегая при этом многочисленных вычислений.

2. Неявные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Неявный метод Эйлера

В неявном методе Эйлера для вычисления используется формула:

В данном случае искомая величина , в отличии от явного метода Эйлера, входит в обе части равенства. Неявный метод Эйлера является А-устойчивым для линейных систем ОДУ и имеет первый порядок точности относительно шага h.

2. Метод трапеций

В методе трапеций для вычисления используется формула:

как и в неявном методе Эйлера случае искомая величина , входит в обе части равенства. Метод трапеций является А-устойчивым для линейных систем ОДУ и имеет второй порядок точности относительно шага h.

3. Метод Адамса – Мултона

В методе Адамса - Мултона для вычисления используется формула:

и, как и ранее, искомая величина , входит в обе части равенства. Метод является двух шаговым. Для начала расчета требуется две «разгонные» точки X₀, X₁. Метод не является устойчивым и имеет четвертый порядок точности относительно шага h.

Неявный метод Эйлера и метод трапеций относятся к группе методов Адамса – Мултона, а выделены отдельно в силу их большой распространенности.

4. Неявные методы Милна

В неявных методах Милна (третьего и четвертого порядка точности) для вычисления точки используются формулы:

в методе третьего порядка точности и

в методе четвертого порядка точности.

Для начала расчетов требуется иметь две и три «разгонные» точки соответственно. Формулы, в которых используется большее число предыдущих точек, приведены в [4].