1. Принципы построения, устойчивость и точность численных методов

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

= f (t, X), X(t0) = X0

(12)

где X ≈ (x₁, …, x_n)^T, X₀ ≈ (x₁₀,…, x_n0)^T, F(t, X)=(f₁(t,X),…,f_n(t,X))^T. Численное решение (12) ищется на интервале [t₀,T]. На этом интервале введем узлы

t₀ < t₁ < . . . <t_k ≤ T

Приближенное решение в узлах t_i ищется в виде последовательности векторов X₁, X₂, …, X_k приближенно равных векторам X(t₁), X(t₂), …, X(t_k),…, определяемым точным решением X(t).

Расстояние между соседними узлами называется шагом интегрирования h: h = t_k-1 – t_k. Шаг может быть задан заранее (интегрирование с постоянным шагом) или может меняться в ходе вычислений. Чаще всего

(13)

Точка X_k+1, определяется на (k+1)-й итерации, может вычисляться явно:

(14)

где F() – некоторая функция, зависящая от конкретного алгоритма (кроме последней рассчитанной точки (t_k, X_k) исползуются еще (m-1) предыдущих точек, или неявно

(15)

Искомая величина X_k+1 входит одновременно и в левую и в правую часть. Соответственно численные методы делятся на явные и неявные.

Численные методы делятся также на одношаговые и m-шаговые. В одношаговых методах для расчета точки (t_k+1, X_k+1) требуется информация только о последней рассчитанной точке (t_k, X_k). В m-шаговых методах для нахождения точки (t_k+1, X_k+1) требуется информация о m предыдущих точках.

Явление числовой неустойчивости связано с тем, что в течение каждой последующей итерации ошибка интегрирования неуклонно растет.

Устойчивость численных методов поверяется на «тестовом примере»:

(16)

где  - в общем случае комплексная константа. Уравнение (16) является простейшим, и любой метод, не пригодный для его решения, не представляет интереса. Линейность уравнения позволяет получить значимые критерии устойчивости в явной форме.

Метод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число h_kp > 0, что при использовании метода для решения задачи (16), где Re < 0, с шагом 0 < h < h_kp при t_k = t₀ + kh  ∞ глобальная ошибка ограничена. Величина h_kp называется критическим шагом. Если h > h_kp, глобальная ошибка может неограниченно возрастать.

Метод называется А-устойчивым, если при его применении численные решения уравнения (16) с фиксированным положительным шагом h и комплексной константой  с Re < 0 стремится к нулю при t_k = t₀ + kh  ∞.

Im (h) h Re (h) Рис. 1.

Область А-устойчивости – это совокупность значений шагом h и , удовлетворяющих условию Re(h ) < 0 (рис. 1)

Выявление свойства А-устойчивости является желательным, так как если решение уравнения (16) асимптотически устойчиво (в силу условия h<0 корень характеристического уравнения находится в левой полуплоскости), то погрешность численного решения стремится к нулю при любой величине шага h > 0. Выбор шага определяется желаемой точностью расчетов.

Для исследования устойчивости численного метода следует использовать соответствующую разностную схему (14) или (15) для решения уравнения (16) и привести ее к линейному разностному уравнению. Критерием устойчивости решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

Является требование расположения корней _i соответствующего характеристического уравнения внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, то есть /_i/< 1, i = 1, …, n. Это условие позволяет указать область устойчивости численного метода.

Для ограниченно устойчивых методов важной задачей является нахождение величины критического шага. Если константа  в уравнении (16) действительная, то можно найти интервал устойчивости.

Существуют определения, смягчающие требование А-устойчивости, например, А()-, А(0) – устойчивости.

Задача Коши (12) называется жесткой на промежутке [t₀,T], если для всех t [t₀,T] выполнено:

а) Re(_i) < 0, i = 1, …, n;

в)

На практике задачу можно считать жесткой, если является величиной O (10), однако в некоторых прикладных областях, коэффициент жесткости может достигать величины O (10⁸).