4.3 Probabilités
Mots à retenir
la probabilité (вероятность) un événement (событие)
un expérience (опыт) aléatoire (случайный)
incompatible (несовместный) disjoint (непересекающийся)
l’équiprobabilité (равновероятность) une éventualité (возможность)
On considère une expérience (par exemple le jet d'un dé). L'ensemble de tous les résultats possibles est supposé fini et noté Ω.
Définitions
1) Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne sont pas prévisibles avec certitude en fonction des conditions initiales.
2) Un évènement est l'ensemble de tous les résultats caractérisés par une même propriété lors d'une expérience.
Exemple le numéro sorti lors d'un jet d'un dé est pair : A = {2, 4, 6}.
3) Un événement élémentaire est l'événement constitué d'un seul résultat.
Exemple les événements élémentaires du jet d'un dé sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
4)
L’intersection de deux événements
A et B est l'événement constitué des résultats communs aux
événements A et B. C'est la partie
Exemple
Si
A correspond à l'obtention d'un nombre pair et B à l'obtention d'un
multiple de 3, alors :
5) Deux
événements sont incompatibles
(ou
disjoints)
si ils n'ont aucun résultat en commun, ce qui correspond à
Ø.
Exemple Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et B à l'obtention d'un multiple de 4, alors A et B sont incompatibles.
6) Deux événements sont indépendants si la probabilité de réalisation de l'un des événements n'est pas changé si l'autre événement est réalisé.
7) La
réunion
de deux événements est
l'événement constitué des résultats de l'événement A ou de
l'événement B. C'est la partie
Exemple
Si
A correspond à l'obtention d'un numéro pair et B à l'obtention
d'un numéro supérieur ou égal à 3, alors :
8) L’événement contraire de A est l'événement constitué des résultats n'appartenant pas à A.
Exemple Si A correspond à l'obtention d'un numéro pair, alors l'événement contraire de A est : {1, 3, 5} (obtention d'un numéro impair).
Lors d'une expérience, on cherche à mesurer par un réel la chance d'obtenir telle ou telle propriété caractérisant un événement. Lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois, ce réel peut être la fréquence de l'événement.
9) La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires composant A. On note P(A) cette probabilité.
Exemple Si A correspond à l'obtention d'un nombre impair et si tous les numéros ont la même chance d'apparaître, alors : P(A) = P ({1}) + P ({3}) + P ({5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.
10) On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Propriétés
1) Dans
le cas d'équiprobabilité
où
m
est le nombre de cas favorable, n
est le nombre total de cas.
2)
P(Ø)=
0, P(Ω) = 1
et pour tout événement,
3)
Si A
et B sont incompatibles,
alors
4)
Si A
et B sont quelconques,
alors :
5) Pour
l’événement contraire de A :
