3) Relation de Chasles

Remarque La relation de Chasles permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas où la fonction f n'est continue que par morceaux sur l'intervalle d'intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues.

Exemple Considérons la fonction f qui vaut x si et si . Son intégrale sur l'intervalle vaut :

4) avec k réel. On l'utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l'intégrale.

5) Linéarité de l'intégrale

On l'utilisera souvent pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples.

Exemple

Exercices

163) Calculer l'intégrale proposée :

a) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k)

164) Calculer chacune des intégrales suivantes. Faire apparaître sur un dessine les aires représentées par chacune des intégrales.

a) b) c) d) e)

165) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c) d)

166) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c) d) e)

167) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

168) Calculer l'intégrale proposée :

a) b) c) d) e)

169) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c) d)

e) f) g) h)

170) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c)

171) Calculer chacune des intégrales suivantes :

a) b) c)

3.3 Applications du calcul intégral

Mots à retenir

engendrer (образовывать, рождать, порождать, производить)

1) Aire sous la courbe

Soient a et b deux réels tels que a ≤ b, f une fonction f définie et continue sur l’intervalle

[a ; b], et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Si pour tout x de [a ; b],

f(x) ≥ 0, alors est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations

x = a et x = b.

2) Aire entre les courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles que : pour tout x de [a ; b], f(x) ≤ g(x). Dans un repère orthogonal, l’aire de la surface limitée par les représentations graphiques de f et g et les droites d’équations x = a et x = b est :

en unités d’aires.

Exemple On cherche l’aire comprise entre les paraboles y = x² –2x+2 et y = - x² + 6

Rédaction : on cherche les points d’intersection entre ces paraboles :

x² – 2x + 2 = - x² + 6 soit 2x² –2x –4 = 0 ; les solutions de cette équation sont

x = -1 ou x = 2. On cherche l’aire comprise entre les paraboles.

Réponse : A = 9

3) Calcul de volume

a) Pour un volume V de hauteur H dont la section avec un plan à la hauteur h a pour l’aire S(h) on a unités de volume.

b) Le volume V du solide de révolution

engendré par rotation de la région délimitée

par le graphe C_f et les droites x = a et x = b

autour de l’axe des x est donnée par

la formule suivante :

Exercices

172) Calculer l’aire de la surface limitée par les représentations graphiques de Faire la figure.

173) Archimède a démontré que l’aire d’un secteur compris entre une droite et une parabole était égal à quatre tiers de l’aire du triangle de même base et même hauteur que ce secteur. On a représenté ci-contre la fonction f définie sur R par .

• Calculer l’aire A₀ du triangle OAB. En déduire l’aire A du secteur colorié.

• Trouver une primitive F de f. Comparer F(6) − F(0) et A.

174) On donne les fonctions f et g. Calculez l'aire du domaine borné délimité par les deux fonctions : a)

b) c)

175) Calculez l'aire du domaine compris entre les courbes des fonctions f et g et les droites verticales x = a et x = b.

a) b)

176) Calculez l'aire du domaine compris entre les courbes y = x, et les droites horizontales y = 1 et y = 2.

177) Calculez le volume des solides générés par la révolution autour de l'axe (OX) des courbes suivantes:

a) b) c)

d) e) f)

178) Donnez la formule permettant de trouver le volume engendré par une révolution autour de l'axe (OY), puis calculez le volume du solide généré par la révolution autour de l'axe (OY) de la courbe : y = x³, 0 y 1.

179) Calculer l'aire de la figure limitée par la courbe, la droite y = 8 et l'axe des ordonnées.

180) Calculer l'aire de la figure comprise entre les paraboles, et la droite y = 2x.

181) Calculer l'aire de la figure comprise entre la parabole   et la droite y = -x.

182) Calculer l'aire du segment de parabole défini par la droite y = 3-2x.

183) Calculer l'aire de la figure limitée par la courbe y =sin x, l'axe des abscisses et les droites et

184) Calculer l'aire de la figure limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = π.

185) Calculer la surface latérale d'un cône de hauteur h et de rayon de base R.

186) Calculer le volume d’une sphère de rayon R.

187) Dans un plan rapporté à un repère orthonormal d’unité 1cm, on considère la courbe représentant la fonction sinus sur Calculer le volume que l’on obtient par rotation de cette courbe autour de l’axe (OX).

188) Dans l'espace muni du repère orthonormé soient S la surface plane située dans le plan z = 0 et délimité par les 2 courbes d'équations respectives et . D le solide engendré par la rotation de S autour de l'axe (OX). a) Faire un croquis de S. b) Calculer l'aire de S. c) Calculer le volume de D.