3.2. Средняя квадратическая погрешность одного измерения

После выполненных измерений всегда необходимо оценить их точность. Оценку точности можно сделать только тогда, когда есть повторные или избыточные измерения. Существуют различные критерии точности. Наиболее удобным и естественным критерием является дисперсия D , характеризующая меру рассеяния результатов измерений. Поскольку на практике число повторных измерений всегда конечно, приходится ограничиваться приближенным значением ее, носящим название оценки дисперсии. Она вычисляется по формуле

(13)

где ₁ , ₂ , … , _n -случайные погрешности в результатах измерений одной и той же величины. В математической статистике доказывается, что оценка (13) является состоятельной, эффективной и несмещенной. Определенным неудобством в использовании этой оценки является её квадратическая размерность по сравнению с результатами измерений. Для избежания этого неудобства используют критерий точности

или (14)

носящей название средней квадратической погрешности. Она обладает рядом достоинств.

I. При числе измерений n  9 величина т изменяется очень мало и, следовательно, значение т близко к её теоретическому аналогу - стандарту . При числе измерений n<9 критерий точности т следует считать ненадёжным.

2. Из опыта установлено, что в ряду, состоящем из 1000 измерений, лишь три случайные погрешности превосходят величину 3m. Следовательно, её можно принять за предельную погрешность Δ_пред , т.е.

Δ_пред= 3m .

Величина 3m и является тем пределом, о котором речь шла в первом свойстве случайных погрешностей. Предельная погрешность играет важную роль при установлении допусков в различных нормативных документах, так как 3m принимают за допустимую погрешность Δ_доп , т.е.

Δ_доп = Δ_пред = 3m .

При увеличении числа измерений надёжность найденной по формуле (14) погрешности возрастает. В теории погрешностей измерений доказывается, что погрешность т_m определения самой погрешности приближённо можно найти по формуле

В заключение подчеркнем, что погрешность m служит критерием точности одного измерения, характерного для всей группы выполненных измерений

3.3. Формула Бесселя

Критерий точности m, введённый по формуле (14), на практике имеет ограниченное применение, так как случайные погрешности Δ_i остаются неизвестными. Для той же самой средней квадратической погрешности m можно вывести формулу с использованием арифметической средины x₀

(15)

где v_i = l_i – x₀ , x₀ = (l₁ + l₂ + … + l_n)/n , l_i – результаты измерений. Формула (15) носит название формулы Бесселя и применяется на практике для оценки точности.

3.4. Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин

Выше был рассмотрен вопрос об оценке точности непосредственно измеренных величин. На практике часто для получения интересующей нас величины измеряют другие величины, а нужную нам величину затем вычисляют по известным аналитическим формулам. При этом, естественно, неизбежные случайные погрешности в непосредственно измеренных величинах повлияют на точность окончательного результата. Возникает задача нахождения средней квадратической погрешности этого окончательного результата как функции погрешностей отдельных измерений. Например, для определения площади фигуры, имеющей форму прямоугольника, измеряют его стороны а и b, а затем вычисляют площадь S = a·b . Погрешности в измеренных сторонах т_a и m_b могут быть найдены по формуле (15). Они внесут некоторую погрешность в найденное значение площади S. Определению погрешностей функций измеренных величин и посвящается данный раздел.

В самом общем виде функция многих независимых переменных имеет вид f(х, у, z,..., t). Погрешности m_x , m_y , m_z , … , m_t известны заранее или вычислены из многократных измерений по формуле Бесселя. В теории погрешностей измерений доказывается, что средняя квадратическая погрешность m_f функции f будет равна