2.3. Понятие о картографической проекции Гаусса-Крюгера

Поверхность земного шара разделим меридианами на шестиградусные зоны, начиная от Гринвичского меридиана, и пронумеруем их в направлении к востоку от 1 до 60. В каждой зоне проведем централь­ный (осевой) меридиан (рис.2.3).

Впишем земной шар в цилиндр. Повернем его так, чтобы осевой меридиан 1-ой зоны касался цилиндра и перенесем все точки зоны на цилиндр согласно закону проекции Гаусса-Крюгера. Этот закон в об­щем виде можно записать так:

( 7 )

Пояснения к формулам (7) дадим позднее. Затем точно так же рядом спроектируем 2-ю, 3-ю,..., б0-ю зоны. После проектирования всех зон цилиндр мысленно разрезается по линиям АА' и ВВ' и разворачи­вается на плоскость (рис.2.4) .

В каждой зоне вводится прямоугольная система координат. За ось Х принимается изображение осевого меридиана, а за ось Y - изоб­ражение экватора.

Закон проектирования (7) надо понимать так: для любой точки С зоны на шаре с географическими координатами _С , _С вычисляют по формулам (7) плоские прямоугольные координаты Х_С , Y_C точки С той же зоны, но уже на плоскости. Эта картографическая проекция была разработана Гауссом при условии сохранения равенства углов на сфере и на плоскости. Как было указано выше, поверхность сферы нельзя изобразить на

плоскости без искажений. Поэтому в проекции Гаусса искажения тоже существуют, но только линейные. Для отрезка 1-2 длиною S (рис.2.4) с координатами (X₁ , Y₁) и (X_{2 ,}Y₂) искажение ΔS имеет вид:

где , R - радиус земного шара.

Для осевого меридиана S = 0, так как Y₁ + Y₂ = 0 . Следовательно, осевые меридианы изобразятся в этой проекции без искажений. Наибольшей величины линейные искажения достигают на краю зоны вдоль экватора. Относительная ошибка S/S здесь равна 1/800. Для территории России, лежащей севернее экватора, максимальные искаже­ния равны 1/1100. Для карт масштаба 1:10 000 и мельче такими искаже­ниями можно пренебречь. Для карт более крупных масштабов применяют проекцию Гаусса с делением на трехградусные зоны, что позволяет вновь не учитывать линейные искажения. Итак, несомненными достоин­ствами рассмотренной проекции являются:

1. Сохранение равенства углов на сфере и плоскости.

2. Линейные искажения малы и ими пренебрегают.

3. Все меридианы и параллели можно изображать прямыми линия­ми, пренебрегая их малой искривленностью при изображении на плоскости.

4. В пределах одной зоны масштаб можно считать постоянной величиной.

Для удобства пользования введенной системой координат внутри каждой зоны наносится координатная сетка (система линий, парал­лельных координатным осям) (рис.2.4, 60-я зона). Для карт масштабов 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000.эти линии проводят через 1 км.

Для территории России, лежащей к северу от экватора, коорди­ната Х любой точки всегда положительна. Координаты же Y в каж­дой зоне могут быть и положительны и отрицательны. Чтобы сделать ординаты тоже всегда положительными, начало координат в каждой зо­не отнесли влево на 500 км. Тогда ось ОХ' выйдет за пределы зоны (рис.2.4, 59-я зона) и координаты Y всех точек зоны будут положи­тельными. Эти координаты называются преобразованными.

Для отличия зон друг от друга всегда указывается их номер, который ставится перед координатой Y . Например, Y_C = 7 421 356 м. Это означает, что точка С находится в зоне №7 и удалена от осе­вого меридиана на

421 356 м - 500 000 м = - 78 644 м.

Знак "минус" говорит об удалении к западу.