Изменение аргумента от 0 до :

.

Изменение частоты от 0 до  составит:

.

При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – по часовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна k/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок в положительном направлении в раз.

3. Разомкнутая система устойчива, замкнутая система неустойчива.

здесь п – количество корней замкнутой системы.

Если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок в отрицательном направлении в раз.

Объединяя все три случая, можно дать следующее определение критерию Найквиста:

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка действительной оси будет равна , где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Примеры:

1

. т=2

Система неустойчивая.

2. т=5

Система устойчивая.

Алгоритм использования критерия Найквиста

1. Приводим систему к виду

2. Получаем передаточную функцию разомкнутой системы.

3. С помощью алгебраических критериев определяем количество (m) положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

4. Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

5. По критерию Найквиста судим об устойчивости замкнутой системы по годографу АФХ разомкнутой системы и количеству положительных корней.

Логарифмический критерий устойчивости

Логарифмический критерий устойчивости применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, при построении ЛАЧХ корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого состояния. Базовым для логарифмического критерия устойчивости является критерий Найквиста.

По критерию Найквиста, базовая точка (-1;0) в комплексной плоскости.

Рассмотрим АФХ разомкнутой системы в двух случаях:

1. АФХ первого рода, когда система в разомкнутом состоянии устойчива.

Это означает, что годограф такой системы не пересекает отрезок .

С

АУ в разомкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигать угла -.

2

. АФХ второго рода, когда разомкнутая система неустойчивая, а замкнутая система устойчива.

Для АФХ второго рода логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем: при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза, количество переходов прямой - ФЧХ должно быть равно нулю (т.е. количество положительных переходов равно количеству отрицательных переходов).