Глава 10. Планирование экспериментов

10.1. Полный факторный эксперимент и дробные реплики

Планирование экспериментов, как отмечалось выше в гл. 9, является составной частью процесса имитационного моделирования поведения системы управления. Кроме того, инструментарий методологии планирования экспериментов может быть использован для решения экстремальных задач, описанных в гл. 8 в ситуации, когда у исследователя очень мало информации о характере оптимизируемой функции и области ее оптимальных значений.

Как правило, системы, подлежащие оптимизации, оказываются столь сложными, что не поддаются теоретическому изучению и в большинстве случаев экстремальные задачи решаются экспериментально при неполном знании механизма явлений. Теория планирования экспериментов – математическая теория экстремальных экспериментов, позволяющая выбирать оптимальную стратегию исследования при неполном знании процесса.

Существенным является то, что при этом подходе исследователь получает математическую модель процесса. На математическом языке задача формулируется следующим образом:

Нужно получить представление о функции отклика , где– параметр процесса, подлежащий оптимизации,– независимые переменные, которые можно варьировать при постановке экспериментов.

Основываясь на априорных сведениях об изучаемом процессе, исследователь выбирает некоторую оптимальную стратегию для управления экспериментом. На каждом этапе исследования выбирается оптимальное расположение точек в пространстве переменных для того, чтобы получить представление о функции отклика. Затем находится направление движения к той области, где условия протекания процесса оптимальны. После ее достижения формируется представление о виде функции отклика в области оптимума. Изложение материала следует [1] и [2].

В этой части рассмотрены вопросы, связанные с планированием экспериментов методом полного и дробного факторного эксперимента. Детальное изложение этих вопросов необходимо для отчетливого понимания современных методов планирования экстремальных экспериментов. Факторный эксперимент – это первое звено в цепи тех идей, последовательное развитие которых привело к разработке статистических методов математического описания сложных процессов.

Построение полного факторного эксперимента и дробных реплик от него. Допустим, что мы имеем дело с двумя независимыми переменными x₁ и x₂ и каждую из них варьируем на двух уровнях, условно обозначаемых символами + 1 и – 1. Например, если в каком-то эксперименте варьировать два фактора – температуру и давление – так, чтобы они принимали только значение 80° или 120° и 2 или 3 атм, то опыт, в котором температура была 120°, а давление 2 атм, в кодовом обозначении запишется так: , а кодовое обозначениебудет указывать на то, что опыт нужно проводить при температуре 80° и давлении 3 атм.

Таблица 3

Полный факторный эксперимент для двух независимых переменных, варьируемых на двух уровнях (планирование типа 22)

Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факторов, варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта так, как это показано в табл. 3. Эта таблица называется матрицей планирования. В первом столбце таблицы приведены значения фиктивной переменной x₀ = 1; во втором и третьем столбцах – значения переменных х₁ и x₂ (эти два столбца образуют собственно планирование); в четвертом столбце записано значение произведения ; наконец, пятый столбец не относится непосредственно к матрице планирования – это вектор значений результатов наблюдений. Первая строка таблицы соответствует первому опыту, в котором обе независимые переменныех₁ и х₂ находятся на нижнем уровне. Во втором опыте первая независимая переменная х₁ находится на верхнем уровне, вторая х₂ – на нижнем, и т. д.

Пользуясь таким планированием, можно вычислить коэффициенты регрессии неполного квадратного уравнения:

в этом случае число опытов будет равно числу оцениваемых параметров – у нас не останется степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента выбранной математической моделью. Если есть основания полагать, что изучаемый процесс в заданном интервале варьирования переменных может быть описан линейной моделью, то можно воспользоваться методом наименьших квадратов для определения трех коэффициентов регрессии – одна степень свободы останется для проверки гипотезы адекватности.

Перейдем к рассмотрению экспериментов с тремя независимыми переменными , варьируемыми также только на двух уровнях. Чтобы исчерпать все возможные комбинации трех факторов, варьируемых на двух уровнях, нужно поставить восемь опытов, планируя эксперимент так, как это показано в табл. 4.

Здесь введены два дополнительных упрощения в системе обозначений: символы + 1 и – 1 обозначены просто знаками « + » и « – » и добавлен новый столбец с условными обозначениями строк с помощью малых латинских букв и одной цифры. Буквы а, b, с обозначают, что в соответствующих строчках на уровне + 1 был только один из факторов x₁, х₂, x₃; произведение двух букв ab, bc, ... обозначает, что в соответствующих строчках на верхних уровнях было два фактора: произведение трех буквabc указывает на то, что на верхнем уровне были все три фактора; наконец, символ (1) означает, что все факторы были на нижних уровня х. С помощью такого кодового обозначения матрица планирования, представленная в табл. 2, может быть записана одной строкой:

Аналогичным образом, матрица планирования для табл. 3. запишется строкой:

Таблица 4