Lektsii_TFKP

2) A ¹ ¥ . Либо точки, в которых функция f (z)

равна A ( A-точки),

имеют z0

своей предельной

точкой, и тогда из

них

можно выбрать

последовательность

zn ® z0 ,

на

которой

f (zn ) = A;

либо существует

проколотая

окрестность {z : 0 <

z - z0

¢

в которой

f (z) ¹ A. В

этой

< r },

1

окрестности определена аналитическая функция j(z) =

, для

f (z) - A

которой z0

также является существенно особой точкой (ибо f (z) = A +

1

j(z)

и если бы j(z) при

z ® z0 стремилась бы к конечному или бесконечному

пределу, то f (z) вела бы себя аналогичным образом),

а значит, найдется

последовательность zn ® z0 такая, что j(zn ) ® ¥ , т.е.

lim

f (zn ) = A . ■

n®¥

Теорема Пикара.

Если точка z0

– изолированная существенно особая точка функции

f (z) , то

в любой

проколотой

окрестности точки

z0

функция

f (z)

res f

(z)=

1

ò f (z)dz .

(5.15)

2pi

z = z0

L

Теорема Коши о вычетах.

Интеграл от функции

f (z), взятый по

n

ò f (z)dz = 2piå res

f (z) .

(5.16)

G

k=1 z=zk

Доказательство. Пусть функция

f (z) – однозначная и аналитическая в

области D , за

исключением изолированных

особых точек

однозначного

характера; G –

замкнутый контур, лежащий в

D ; его внутренность может

Учитывая определение

вычета

res

f (z) =

1

ò f (z)dz , получаем

2pi

z=zk

g k

требуемое. ■

Замечание. Вычет функции f (z)

в изолированной особой точке zk ÎC

равен коэффициенту при (z - zk )-1

в ее

лорановском

разложении в

окрестности zk :

res f (z) = c-1 .

z=zk

Действительно, в проколотой

окрестности

zk

функция f (z)

¥

представляется рядом Лорана

f (z) =

åcn (z - zk )n ;

интегрируя почленно

¥

ò f (z)dz = å cn ò(z - zk )n dz = c-1 2pi .

g k

n=-¥

g k

5.6.2. Вычисление вычета в конечных точках

1)

z0 – устранимая особая точка функции f (z) , тогда res

f (z) = 0.

z0 – полюс n -го порядка функции

z=z0

2)

f (z) , тогда

res f (z) =

1

lim

d n-1

{(z - z

0 )n f (z)}.

(5.17)

(n -

z=z0

1)! z®z0 dzn-1

В частности, если z0

–

простой полюс, то res

f (z) = lim (z - z0 ) f (z) .

z=z0

z®z0

Действительно, в проколотой окрестности точки z0

имеем разложение

c-n

c-1

¥

f (z) =

+ ? +

+ åck (z - z0 )k .

(z - z0 )n

z

- z0 k=0

Умножим

обе

части

разложения

на

(z - z0 )n ,

затем

продифференцируем почленно n -1 раз и получим:

d n-1

{(z - z0 )n f (z)}= (n -1)!c-1 + n(n -1)...2c0 (z - z0 ) + ....

n-1

dz

Переходя теперь

к

пределу при

z ® z0 ,

получаем

формулу для

вычисления вычета в полюсе n -го порядка.

Приведем две модификации этих формул.

Если в окрестности z0

f (z) =

j(z)

, где j(z) , y (z) –

аналитические

y (z)

функции в точке

z0 , причем j(z0 ) ¹ 0 ,

y (z0 ) = 0, y ¢(z0 ) ¹ 0

(то есть

z0 –

простой полюс), то

res f (z)=

j(z0 )

,

(5.18)

z = z0

y ¢(z0 )

res f (z)= res

j(z)

= lim

j(z)(z - z0 )

= lim

j(z)

=

j(z0 )

.

z = z0

z = z0 y (z)

z® z0

y (z)

z® z0 y (z)-y (z0 )

y ¢(z0 )

z - z0

Если

f (z) =

j(z)

, где j(z)

– аналитическая в точке z0 ,

m Î N , то

(z - z0 )m

res f (z) =

1

j (m-1) (z0 ).

(5.19)

(m

-1)!

z=z0

3) z0 –

существенно особая точка функции

f (z) ,

тогда,

раскладывая

f (z) в ряд Лорана по степеням z - z0 , находим c-1;

res

f (z) = c-1.

z=z0

5.6.3. Вычет в бесконечно удаленной точке

Пусть

z0 = ¥

– изолированная

особая

точка функции

f (z) , тогда

вычетом в бесконечности называется величина

res f (z) =

1

ò f (z)dz = -

1

ò f (z)dz ,

2pi

2pi

z=¥

-

L

L

где L- – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри

себя начало координат и полностью лежащий

в окрестности бесконечно

удаленной точки {z, R <

z

< ¥}, где f (z)

аналитическая,

причем L- означает,

что обход контура L осуществляется в отрицательном направлении.

В окрестности бесконечности разложение функции

f (z)

в ряд Лорана

¥

почленно вдоль g R- = {z,

= R},

имеет вид

f (z) =

åcn zn .

Интегрируя

z

находим

n=-¥

res f (z) = -c-1 .

z=¥

Основная теорема о вычетах.

Если

z1,..., zn – изолированные конечные особые точки функции f (z) ,

n

å res

f (z) + res f (z) = 0 .

(5.20)

k=1 z=zk

z=¥

пусть g R ориентирована против

часовой стрелки. По теореме Коши о

вычетах,

1

ò

f (z)dz =

n

res f (z) ;

2pi

å z=zk

g R

k=1

с другой стороны, учитывая направление обхода окружности,

1

ò f (z)dz = - res f (z) .

2pi g R

z=¥

res f (z) = lim z( f (¥) - f (z)), где f (¥) = lim

f (z).

(5.21)

z=¥

z®¥

z®¥

2)

z0 = ¥ – полюс m -го порядка функции

f (z) , тогда

res f (z) =

(-1)m

lim (z m+2 f (m+1) (z)).

(5.22)

z=¥

(m + 1)! z®¥

3)

если z0 = ¥ –

существенно особая точка функции

f (z) , то чаще

применяется формула res f (z) = -c-1 .

z=¥

Пример 5.7. Вычислить вычет функции

f

(z) в точке z0 : a) f (z)=

zeiz

,

z2 +

1

1

z0 = i ; b) f (z)= ctg2 z ,

f (z)=

sin

z0 = ¥ ; d) f (z)= ln z×sin

1

z0 = 0; c)

z

,

,

z -1

z -

1

z2 + 1

d æ z2

+ 1

ö

z2 - 4z -1

1

res

= lim

ç

÷

= lim

= -

z2 (z - 2)

(z - 2)2

z = 0

z ® 0 dz èç (z - 2)ø÷

z ® 0

4

,

res

z2 +1

= lim

z2 +1

=

5

.

z2(z - 2)

z2

4

z = 2

z ® 2

Тогда из (5.23) имеем:

z2 + 1

æ

5

1

ö

dz = 2p iç

-

÷

= 2p i .

Gò z2 (z - 2)

è 4

4

ø

1

1

1

cos

cos

- z × cos

2p i

ò

z

dz = -2p i× res

z

= -2p i× lim

z

=

= 2p

i z + 1

i z + 1

i z + 1

i

z -1-i = 2

z =¥

z ® ¥

особенностей на окружности u2 + v2 = 1.

ix

1

æ

1 ö

1

æ

1 ö

dz

Пусть

z = e

, тогда cos x =

ç z +

÷, sin x =

ç z -

÷ , dx =

.

2

è

z ø

2i è

z ø

iz

Когда

x меняется от 0 до

2p , точка

z пробегает окружность

z

= 1 в

2p

dx

Пример 5.9. Вычислить интегралы: a)

ò

,

r

¹ 1, r –

1 -

2r cos x + r

2

0

1

dx

комплексное число; b) ò

,

a >1.

-1

(a - x) 1

- x2

Решение.

a) Сделав замену переменной z = eix , получим:

2p

dx

dz