Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_TFKP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

871.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

При этом	условии получаем:		ò	f (z) - f (z0 )	dz	<	e	2pr = 2pe , а
При этом	условии получаем:		ò		dz	<		2pr = 2pe , а
			g r	z - z0			r
значит,
				lim ò		f (z) - f (z0 )			dz = 0 .
				lim ò					dz = 0 .
				r®0 g r			z - z0
						(4.6)
Интеграл ò	f (z) - f (z0 )	dz равен левой части равенства (4.5) и, в силу
Интеграл ò		dz равен левой части равенства (4.5) и, в силу
g r	z - z0

(4.4), не зависит от r . Следовательно, он равен нулю при всех рассматриваемых значениях r . Таким образом, справедливо (4.5), а значит,

имеет место интегральная формула Коши (4.3). ■ Суть теоремы заключается в выражении значения функции внутри

области через значения на границе.

Следствия.

1) (Теорема о среднем) Значение аналитической функции f (z) в любой точке z0 области аналитичности равно среднему арифметическому ее значений на любой окружности с центром в точке z0 (сама окружность и ее

внутренность лежат в той же области).

Доказательство.

f (z0 ) =

f (z)dz

f (z0 + reij )

ireij dj =

2pi

= r

z - z

2pi

reij

z - z0

= 1 2òp f (z0 + reij )dj . ■

2p 0

2)(Принцип максимума) Если функция – непостоянная,

аналитическая в области G и непрерывная в G , то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области G .

Доказательство. Если для функции f (z)

в области

G выполняется

одно из условий а) Re f (z) = const или б)

f (z)

= const , то f (z) = const .

а)

f = u + iv ;

¶u

= 0, Þ

по

условиям

Коши-Римана

¶x

¶y

¶v

= 0,

Þ v = const, f

= const .

¶x

¶y

б)

Пусть

f (z)

º M ¹ 0 .

Рассмотрим

аналитическую

функцию

ln f (z) = ln

f (z)

+ i arg f (z) :

Re(ln( f (z)))= ln

f (z)

= ln M = const ,

ln( f (z)) = const ,

Þ f (z) º const .

Пусть

f (z)

достигает максимума внутри области G на множестве E ,

то есть "z Î E

f (z)

= M .

Если E = G , то на

f (z)

= const, Þ f (z) = const .

Если

E ¹ G , то найдется граничная точка

множества E ,

z0 ÎG , а

так как в любой окрестности

z0 есть точки множества E , и функция f (z)

непрерывна, то

f (z0 )

= M .

z - z0

= r

C Ì G , и

Построим

окружность

C :

такую,

что

на этой

окружности найдется точка z1 Ï E ,

а значит

f (z1)

< M .

некоторого e > 0

Из

непрерывности

функции

f (z) получаем: для

найдется дуга C1 окружности C , на которой

f (z)

< M - e , а на оставшейся

части C \ C1

окружности

f (z)

£ M .

По

теореме

среднем

f (z0 ) =

ò f (z)dj =

ò f (z)ds + ò f (z)dsý

, ds = rdj .

2pr ïC

C\C

Следовательно,

M =

)

{(M - e )

+ M

C \ C

2pr

M (

C \ C

= M -

где через

обозначена длина

2pr

соответствующей дуги. Полученное противоречие завершает доказательство.

■

zez

Пример 4.7. Вычислить ò

dz , где a) L = {z :

z -1

=1}, b)

(z2

+1)(z -1)

L = {z : z -1 - i = 2}.

L = íz :

, c)

Решение.

zez

а)

Запишем интеграл

виде

zez

dz =

(z2 + 1)

dz ,

zez

z -1

=1 (z

+ 1)(z -1)

z -1

(z -1)

функция

f (z) =

–

аналитическая

области

z -1

< 1,

а точка

(z2 +

z0 = 1Î{z,

z -1

< 1},

поэтому

по

формуле

(4.3)

имеем

zez

dz = 2pi

= pei .

z-1

+1)(z -1)

z=1

zez

В области

подынтегральная функция

2 +1)(z -1)

аналитическая,

поэтому

из

интегральной

теоремы

Коши

имеем

zez

dz = 0 .

1 (z2

+1)(z -1)

c) В области z -1 - i < 2 лежат две точки, в которых знаменатель обращается в нуль: z1 =1 и z2 = i , поэтому воспользоваться непосредственно формулой (4.3) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей

z	= -	z -1	+	1	.

( z 2 +1)( z -1)		2 ( z 2 +1)		2 ( z -1)

Тогда, применяя формулу (4.3) к каждому из интегралов, имеем:

z ez

dz = -

+ 1)( z -1)

L ( z

2 L

( z -1)ez

= -

z + i

z - i

= - p i

( z -1) ez

z + i

z =i

( z -1)ez			dz +	1	ò	ez	dz =
z	2	+ 1				( z -1)
				2 L

	1	ò		e	z		(4.3)
dz +	1			e		dz =
dz +	2			z -1		dz =
	2	L		z -1
		L
+ p iez					= p		(1 - i)e i+p ei .
+ p iez					= p		(1 - i)e i+p ei .
			z =1		2
			z =1		2

(a >1).

ò0

Пример 4.8. Доказать, что

a + cos j =

a 2 -1

Решение. Заменой z = eij

сведем интеграл

к интегралу по

a + cos j

контуру от функции комплексной

переменной.

Так как

dj =

i z

-ij

воспользовавшись формулой cos j =

+ e

) =

ç z +

÷ , имеем:

a + cos j

=1 z

+ 2a z + 1

Разложим знаменатель на множители:

( z 2 + 2a z +1) = ( z + a + a 2 -1)( z + a - a 2 -1) = ( z - z ) ( z - z

Точка z

= - a +

-1Î{ z

< 1},

точка z = -a - a2 -1Î{ z

> 1};

таким образом,

функция

(z + a +

a 2 -1)-1

– аналитическая в

<1, и из

формулы (4.3) имеем:

z + a + a

2 -1

dz =

+ 2a z +

z + a - a

2 -1

=1 z

2pi

2p .

i z + a + a 2 -1 z=-a+ a2 -1

a 2 -1

§4.5. Интеграл типа Коши

Пусть G – спрямляемая кривая, j(x ) – непрерывная на G функция,

z Ï G .
Интегралом типа Коши называется интеграл вида F(z) =	1	ò	j(x )dx
			x - z .
	2pi		x - z .
		G

Интегралом Коши называется интеграл, фигурирующий в интегральной формуле Коши.

Пример 4.9. Интегралы

1 1 dx

Коши: a) 2pi -ò1x - z , x Î R ; b)

типа Коши, не

1					dx		1
1		ò		x	dx	; c)	1
2pi	x	ò	x - z			; c)	2pi
	x	=1

являющиеся интегралами

x -2dx

xò=1 x - z .

Теорема (о дифференцируемости интеграла типа Коши).

Пусть G –

спрямляемая кривая, j(x ) –

непрерывная на

G функция,

z Ï G , F(z) =

j(x )dx

. Тогда в любой области П, не содержащей точек

x - z

2pi

G , функция

F(z) бесконечно

дифференцируема, причем

справедлива

формула F (n)

(z) =

j(x )

dx .

2pi

(x - z)

n+1

Следствия.

то она ¥ -

1) Если

функция

f (z) аналитическая

в области G ,

дифференцируема в области G (если функция аналитическая, то она представима интегралом Коши, который является частным случаем интеграла типа Коши).

2) Для производной n -го порядка справедлива формула:

	f (n) (z0 ) =	n!		f (z)			dz ;			(4.7)
	f (n) (z0 ) =	2pi ò		(z - z	0	)n+1	dz ;			(4.7)
		2pi ò		(z - z		)n+1
			L
3)	Если функция f (z) аналитическая в области G , то									"n f (n) (z)
является аналитической в области G .
4)	Теорема Морера. Если функция			f (z) однозначная и непрерывная в
односвязной области G , причем для любой кусочно-гладкой замкнутой
кривой G Ì G выполняется ò f (z)dz = 0 , то функция								f (z) – аналитическая в
	G
G .
	Доказательство. Так как							ò f (z)dz = 0 для любой
								G
				z
	замкнутой кривой G , то ò f (x )dx = F(z) –									однозначная
				z0
	функция.
	Построим d -окрестность точки z (рис. 4.3), в силу
	непрерывности функции, "x ,							x - z	< d ,	выполняется
	непрерывности функции, "x ,							x - z	< d ,	выполняется

Рис. 4.3

неравенство f (x ) - f (z) < e . Обозначим через s радиус, связывающий z и x .

Покажем, что F ¢(z) = f (z) .
	F(x ) - F(z)			ì				ü


				1 ï				ï
		- f (z)	=		í	ò	f (t )dt - ò f (t )dt ý		- f (z)	=
	x - z	- f (z)	=		í	ò	f (t )dt - ò f (t )dt ý		- f (z)	=
	x - z			x - z ï				ï
					îg +s		g	þ
					îg +s		g	þ

	1	ì		ü		1
		ì		ü
		ï		ï			ò( f (t ) - f (z))dt
=		í	ò f (t )dt - f (z)(x - z)ý		=			£
=		í	ò f (t )dt - f (z)(x - z)ý		=	x - z		£
	x - z ï			ï		x - z	s
		îs		þ			s

f (t ) - f (z)

£ ed = e ,

x - z

F(x ) - F(z)

следовательно,

® f (z) при x ® z .

x - z

Таким образом, F(z)

– аналитическая функция в области G , а значит,

по следствию 3, ее производная

f (z) – аналитическая в G . ■

5) Неравенства Коши.

(z) – аналитическая

Пусть g :

z - z0

= r ,

M (r) = max

f (z)

и функция f

f (n) (z0 )

n!M (r)

G ,

в области

содержащей

круг

z - z0

£ r . Тогда

r n

"n = 0,1, 2,....

Доказательство.

Так

как

(n) (z0 ) =

f (x )

dx , то

2pi

(x - z

)n+1

M (r) 2pr = n!M (r) . ■

f (n) (z0 )

2p r n+1

r n

Пример 4.10. Вычислить

zsin z

dz .

(z - 2)

Решение. Воспользовавшись (4.7), имеем:

zsin z

dz =

2p i

(z × sin z)²

= p i (2cos z - zsin z)

z =2 = 2pi(cos2 - sin 2).

(z - 2)

z =2

Пример 4.11. Вычислить

òsin6 x dx .

Решение. Сделав замену z = eix и воспользовавшись формулой

1 ö

sin x =

ç z -

÷ , имеем:

2i è

z ø

( z 2

-1) 6

(6)

òsin6 x dx = -

dz = -

[( z 2

-1) 6 ]

× C63

64i

64× 6!

z =0

Глава 5. Ряды аналитических функций

§5.1. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

¥	n
åcn (z - z0 )	,	(5.1)

n=0

где z0 , cn ÎC (n = 0,1, 2, 3,? ) – фиксированные числа.

Множеством сходимости степенного ряда называется множество точек z , при которых ряд (5.1) сходится.

Будем в дальнейшем считать, что 10 = ¥ , ¥1 = 0.

Теорема Коши-Адамара.

Если lim n cn = 1 (0 £ R £ ¥), то

n®¥ R

·при R = ¥ ряд (5.1) сходится во всей комплексной плоскости;

·	при R = 0 ряд (5.1) сходится только в точке z = z0 и расходится

при z ¹ z0 ;

· при 0 < R < ¥ ряд (5.1) сходится абсолютно в круге z - z0 < R и расходится во внешности этого круга.

Круг {z : z - z0 < R}, внутри которого (5.1) сходится, а во внешности

расходится, называется кругом сходимости, R – радиусом сходимости. Поведение ряда (5.1) на границе круга сходимости может быть различным.

					¥	n	n
Пример 5.1. Найти радиусы сходимости			рядов:		a) å	n			z n ,
Пример 5.1. Найти радиусы сходимости			рядов:		a) å				z n ,
¥					n=0 n!
b) å3 n z n 3 .
n=0
Решение.
a) По формуле Коши – Адамара имеем:	1	= lim n n n			= lim			n .
	R		n®¥	n!	n®¥		n n!

Для вычисления последнего предела воспользуемся формулой Стирлинга

Тогда

	1	= lim
	R	n®¥ n
откуда R = e-1.
	¥
b)	å3 n z n 3

n=0

n!= 2p n n n × e-n+qn /12n , qn Î(0,1).

		= lim	1-qn /12n		= e ,
n			e
2p n n n × e-n+qn /12n		n®¥	2n	2p n

– степенной ряд,	у которого многие коэффициенты

равны нулю. Прежде чем воспользоваться формулой Коши – Адамара, запишем выражения коэффициентов ck этого ряда через номер

коэффициента k ( здесь ck – коэффициент при k -ой степени z ):

ì	n	, k = n	3	, n = 0,1,? ;
ck = í3
î		0, k ¹ n3.

Так как требуется найти верхний предел неотрицательной последовательности, можно не рассматривать ее нулевые члены. Поэтому

1							1

	= lim k	ck	= lim n3	c	n	3	= lim (3n )n3	=1.
R	k ®¥		n®¥		n		n®¥
Значит, R =1.
								¥ n

Пример 5.2. Найти множество сходимости степенного ряда å za

(a Î R).

n=1 n

Решение.

= lim n

= lim n- n

= 1, т.е. R = 1, поэтому

< 1 – круг

сходимости.

n®¥

На окружности

= 1

поэтому при a > 1 ряд абсолютно

сходится во всех ее точках,

а при a £ 0 расходится. При 0 < a £ 1 и z = 1 ряд

= å

расходится.

В остальных точках

окружности

ряд

n=1 n

n+ p

ikj

сходится,

так

как при

z = eij (0 < j < 2p )

Sn+ p - Sn =

k =n+1

ìp-2 = ei(n+1)j ïí ås

î j=0

s j =1+ eij + e

то

s p-1

j ê

(n + j +1)a

(n + j +

2)a

(n + p)a

1- e

i( j+1)j

j sin

j +1

2ij +?

+ e jij

= e ji

. Так как

s j

1- eij

sin

n+ p

ikj

ìp-2

í å

ú +

ý =

1)a

(n +

+ p)a

k=n+1

ï j=0

ê(n + j +

j + 2)a ú

sin

® 0 при n ® ¥ .

sin j

(n +1)a

Теорема Абеля.

(z - z0 )n

Если ряд

åcn

сходится

точке

z1 ¹ z0 ,

то он

абсолютно

n=0

сходится в круге

z - z0

z1 - z0

Доказательство. Так как z1

не лежит во внешности круга сходимости,

то она

лежит

внутри

него

или на его границе.

обоих случаях

круг

z - z0

z1 - z0

содержится

в круге

сходимости,

значит,

ряд в

нем

абсолютно сходится. ■

Теорема (о почленном дифференцировании степенных рядов).

		< R (R > 0) степенного ряда	¥
В круге сходимости	z - z0		åcn (z - z0 )n
В круге сходимости	z - z0		åcn (z - z0 )n
			n=0
его сумма f (z) является	аналитической функцией, причем		производная

f ¢(z) может быть получена путем почленного дифференцирования (5.1), т.е.

	¥		n-1
	¥		(z - z0 ) ,
	¢
		f (z) = åncn
		n=1
	¥		(n - p +1)cn (z - z0 )n- p ,
	f ( p) (z) = ån(n -1)(n - 2)?		(n - p +1)cn (z - z0 )n- p ,	(5.2)
		n= p
откуда с p =	f ( p) (z0 )	.
откуда с p =		.
	p!

§5.2. Ряд Тейлора

Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора).

Если функция f (z)

– аналитическая в области D , z0 Î D , то в любом

круге U =

{z,

z - z0

< R}Ì D эту функцию можно представить в виде суммы

сходящегося степенного ряда

(z - z0 )n ,

f (z) = åcn

(5.3)

n=0

где

f (x )dx

сn =

(g r = {x ,

x - z0

= r < R}).

(5.4)

2ip ò

(x - z

)n+1

g r

Доказательство. Пусть z ÎU – произвольная точка; выберем число r

так, чтобы

z - z0

< r < R , и обозначим g r

= {x ,

x - z0

= r}.

f (x )dx

По

интегральной

формуле

Коши, f (z) =

;

2ip

x - z

g r

¥ æ

z - z0

- z0 )

x - z0 - (z - z0 )

z - z0

åç

n+1

(x - z0 )n=0è x - z0

n=0

(x - z0 )

(x - z0 )ç1-

x - z0 ø

f (x )

(x )

(z - z0 )n сходится равномерно по x

Ряд

(x - z0 )n+1

2ip x - z

2ip n=0

f (x ) непрерывна,

на g r по признаку Вейерштрасса, так как

а, следовательно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019275.97 Кб1Lektsia_7.doc
#
19.09.2019140.29 Кб1Lektsia_8.doc
#
09.06.2015584.79 Кб17lektsii_141_matan1.pdf
#
09.06.2015853.56 Кб110Lektsii_po_analiticheskoy_geometrii_Novikov.pdf
#
09.06.2015378.37 Кб7Lektsii_po_filosofii_2011.doc
#
29.03.2016871.98 Кб27Lektsii_TFKP.pdf
#
09.06.201521.62 Mб86leng_algebra.pdf
#
09.06.2015137.73 Кб63litologia.doc
#
09.06.2015599.6 Кб9Maciashek_978-5-94774-488-0_Glava1_cB488-0.pdf
#
07.09.2019978.43 Кб2MAKROEKONOMIKA_1.doc
#
09.06.2015524.95 Кб10MatAn1semestr.pdf