Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_TFKP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

871.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

D1 = {w: w > a + a2 -1} и D2 = {w: w < a - a2 -1}. В качестве образа при отображении, обратном к функции Жуковского, выбираем область D2 (так

как она содержит точку 0).

§ 3.8. Построение конформных отображений

Теорема 6 (теорема Римана о существовании конформного

отображения). Каждую односвязную область G Ì C , граница которой содержит более одной точки, можно конформно отобразить на круг с центром в начале координат.

Теорема 7 (единственности для конформного отображения).

Существует лишь одна функция F(z), конформно отображающая область G на круг {w <1} и удовлетворяющая условиям

F(z0 )= 0 и F¢(z0 )> 0 ,

где z0 – заданная конечная точка области G .

При фактическом построении функции, реализующей конформное отображение данной области G на круг или на полуплоскость, используются уже изученные примеры конформных отображений путем суперпозиции подходящих отображений.

Пример 3.17. Отобразить

конформно и

однолистно множество:

a) E = {z : z Ï[- i, 2i]};

E = {z :

<1,

z + i

>1};

E = {z : Im z < 2, -1< Re z < 3};

E = {z :

z + i

>1,

z + 3i

>1} на

верхнюю

полуплоскость.

Решение.

Множество E представляет собой плоскость с разрезом вдоль

отрезка

[- i, 2i] мнимой оси. Переведем разрез в разрез по лучу с началом в

точке 0 . Это можно сделать с помощью дробно-линейного отображения


w	=	z + i		.

1		z - 2i
		Поскольку точка 0 Î [- i, 2i] при этом отображении перейдет в
w	(0)= -		1		, то разрез переходит в отрицательную часть действительной оси.

1		2

Выделим в полученной области (плоскости с разрезом) однозначную ветвь

функции	w2 = w1 требованием 1 =1. Поскольку область в плоскости w1
задается	неравенствами - p < arg w1 < p , то ее образ будет задаваться

неравенствами - p < arg w < p ,				то	есть будет			правой	полуплоскостью.
	2	2	2
	2		2						p
							p ,		p
Последнее	отображение	– поворот			на	угол	p ,	то есть	w = ei 2 w	= iw .
							2		2	2
							2
Окончательный ответ имеет вид				w = i		z + i	, где ветвь корня выделяется
						z - 2i
условием	1 =1.
b)	Область E представляет «круговую луночку», то есть ограничена

дугами двух окружностей. В этой ситуации целесообразно отобразить точки пересечения окружностей в 0 и ¥ . Найдем точки пересечения окружностей

z =1 и z + i =1:

ï z =1,

ï z + i =1,

ì		2	+ y	2	=1,
ï x
í	2	+ (y			2
ï
îx				+ 1) =1,

откуда искомые точки – z

3 - i

и z

= -

3 - i .

z +

Отображение задается формулой w =

z -

Так как

(0)= - 1 - i

3 , то дуга окружности

z + i

=1 отобразится на

j = -

(i)= 1 - i

3 ,

луч

Поскольку

то

дуга

окружности

j = - p

отобразится

на

луч

Так

как

положительному

обходу границы

луночки, то есть z ,

i , z

, 0, соответствует обход ¥ , 1

- i

, 0,

- 1 - i

3 ,

то

область,

являющаяся

образом

E ,

будет

углом

í-

< arg w1 < -

ý .

Отображение

w = w3

переведет

этот

угол

ö3

{- 2p < arg w < -p}= {0 < arg w < p},

+ 2

то есть

w = ç

– искомое

ç z

отображение.

c) Cпособ 1. Отобразим данную полуполосу на горизонтальную полуполосу шириной p . Для этого надо применить параллельный перенос

		= ei	p			w = p w
w = z + 1- 2i , поворот	w	= ei	2 w = iw		и сжатие	w = p w			. Результатом
1	2		1	1		3	4	2
будет полуполоса {Re w > 0, 0 < Imw < p}. Отображение w								= ew3 переведет
3				3			4

ее в {w4 = eRe w3 >1, 0 < arg w4 = Imw3 < p }. Полученная область – «круговая

луночка», одна из граничных «окружностей» которой – действительная ось.

Применим

отображение w =

w4 -1

. Так как

w (¥)=1,

то образом

w4 + 1

объединения двух

полупрямых

{w4 :Imw4 = 0, Re w4 Î[- ¥, -1]È [1, + ¥]}

будет

луч

[0, + ¥];

аналогично, из

w5 (i)= i

следует, что образ верхней

полуокружности

{w4 :Imw4 ³ 0,

=1}

–

луч

[0, + ¥i].

Анализируя

w5 (2i)= 3 + 4i ),

направление обхода (или используя то, что

найдем, что

образом

«круговой

луночки»

будет

первая

четверть

{w :Re w > 0, Imw > 0}=

ìw :0 < arg w < p

ü .

í 5

Наконец, отображение w = w2 дает требуемое.

Cпособ 2. Отобразим данную полуполосу на горизонтальную

полуполосу шириной

2p . Для этого надо применить,

аналогично первому

способу,

следующие

отображения:

w = z + 1- 2i ,

= iw

w = p w .

Результатом

будет

полуполоса

{Re w3 > 0, 0 < Imw3 < 2p}.

Отображение

w = ew3

переведет

ее

{

>1, 0 < arg w < 2p},

то

есть

внешность

единичного круга с разрезом вдоль [1, + ¥].

Функция

Жуковского

w =

ç w

отображает

внешность

ç 4

[1, + ¥]

единичного круга во внешность отрезка

[-1,1], а полупрямую

оставляет на месте. Итак, образом в плоскости

будет

внешность

полупрямой

[-1, + ¥].

Сдвиг

w6 = w5 + 1

отобразит

ее

на

область

{0 < arg w6 < 2p},

а применение отображения

w =

с выделением ветви

-1 = i , дает искомое отображение.

d)Данная область представляет собой внешность двух кругов,

касающихся между собой в точке	z = -2i . Поэтому отображение	w1	=	1

				z + 2i

переводит обе окружности в прямые, не имеющие конечных точек

пересечения, то есть параллельные. Так как						w (0)= -	i	,	w (- i + 1)			=	1	-	i	, то
пересечения, то есть параллельные. Так как						w (0)= -		,	w (- i + 1)			=		-		, то
						1	2		1			2		2
							2					2		2
одна из этих прямых –	ìImw = -		1	ü	, а поскольку w (- 4i)=					i	,	то другая
одна из этих прямых –	ìImw = -			ý	, а поскольку w (- 4i)=						,	то другая
	í	1	2	ý				1	2
	î		2	þ					2

прямая –

íImw1 =

. Бесконечная точка принадлежит данной области, а

w (¥)= 0 ,

поэтому

образ области

–

полоса

Imw

Применяя

2þ

растяжение

w2 = pw1,

получим полосу

Imw2

p ü

шириной p . Теперь

= ew2

2 þ

функция

отображает

эту

полосу

на

правую

полуплоскость

arg w3

p ü

, поворачивая которую с помощью

w = iw3 ,

найдем искомое

2 þ

отображение.

Пример 3.18. Отобразить верхнюю полуплоскость на единичный круг

<1 так, чтобы w(2i)= 0 и arg w

(2i)= 0 .

Решение. Так как точка - 2i симметрична точке 2i относительно

действительной оси (границы нашей области), то ее образ

w(- 2i) должен

быть симметричен центру окружности

=1относительно этой окружности,

то есть w(- 2i)= ¥ . Любая дробно-линейная функция, осуществляющая такое

отображение двух точек,

имеет вид w = k

z - 2i

z + 2i

z = 0 , то есть

Чтобы найти k , прежде всего заметим,

что образ точки

w(0)= -k ,

должен

находится на

единичной

окружности,

то

есть k = eiq .

(z + 2i)2

4 ,

Чтобы

найти

найдем

w (2i)= e

z =2i

= -e

откуда

i p

= e

= i ,

= 0 ,

откуда

q = - 2 ,

или

то есть

arg w (2i)= p + q + 2

w = i

z - 2i

– искомое отображение.

z + 2i

Глава 4. Интегрирование функций комплексного переменного

§ 4.1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного

Непрерывная кривая L ,	задаваемая уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t),
a £ t £ b , называется гладкой,	если в [a,b]	¢
		существует производная z (t) (в

точках t = a, t = b – односторонняя), непрерывная и отличная от нуля.

Кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.

Пусть f (z)

– непрерывная

функция в области D комплексной

плоскости,

L – спрямляемая кривая, лежащая в области D с началом в точке

z0 и концом в точке z .

L произвольным образом на n частей g 0 , g 1,..., g n-1

Разобьем кривую

точками z0 , z1, z2 ,..., zn = z . На каждой из частей g k выберем точку xk

n-1

составим сумму å f (xk )Dzk , где Dzk = zk+1 - zk , k =

. Обозначим lk

0,n -1

–

k=0

, l = max{lk }.

длина кривой g k , k =

0,n -1

Интегралом

от

функции

f (z) по

кривой L

называется

n-1

ò f (z)dz .

lim å f (xk )Dzk

l®0 k=0

Если через - L обозначить ту же кривую

L , но с противоположным

направлением обхода, то

ò f (z)dz = -ò f (z)dz .

-L

Если

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ,

то, полагая

zk = xk + iyk ,

xk = z k + ihk ,

u(z k ,hk ) = uk ,

v(z k ,hk ) = vk , Dzk = zk +1 - zk = (xk +1 - xk ) + i(yk +1 - yk ) =

= Dxk + iDyk , получим

n-1

å f (xk )Dzk =

å(uk + ivk )(Dxk + iDyk )=

k =0

n-1

= å(uk Dxk -vk Dyk )+ i å(vk Dxk + uk Dyk ),

k =0

то есть действительная и мнимая части комплексной интегральной суммы сами являются интегральными суммами для пары действительных функций от x и y ; первая сумма – для пары функций u(x, y) и - v(x, y) и данного

разбиения кривой L , вторая – для пары v(x, y) и u(x, y) и того же разбиения.

Так как кривая – спрямляемая, а каждая из функций любой пары непрерывна на L , то интегральные суммы стремятся к конечным пределам

òu(x, y)dx - v(x, y)dy и	òv(x, y)dx + u(x, y)dy	для любой последовательности
L	L
разбиений, удовлетворяющей условию l ® 0.
Таким образом,
ò f (z)dz = òu(x, y)dx - v(x, y)dy + iòv(x, y)dx + u(x, y)dy .			(4.1)
L	L	L

§4.2. Некоторые свойства интеграла от функции комплексного переменного

Свойства интеграла от функции комплексного переменного непосредственно следуют из свойств криволинейного интеграла:

1.ò(af (z) + bg(z))dz = aò f (z)dz + bò g(z)dz ;

	L				L	L
2.	ò f (z)dz = ò f (z)dz + ò f (z)dz ,						где L1 + L2 –	кривая,
	L1+L2		L1			L2
составленная из дуг L1			и L2 так, что конец L1				совпадает с началом L2 ;
3.	ò f (z)dz	£ ò		f (z)	ds ,	где s –	длина дуги, отсчитываемая от

	L		L

начала L до произвольной ее точки в выбранном направлении;

4.Связь с определенным интегралом: пусть L – гладкая кривая,

задаваемая уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t), a £ t £ b , то

ò f (z)dz = òudx - vdy + iòvdx + udy =

L L L

ò{u(x(t), y(t))x¢(t) - v(x(t), y(t))y¢(t)}dt +

+ iò{v(x(t), y(t))x¢(t) + u(x(t), y(t))y¢(t)}dt =

ò{u(x(t), y(t))

Таким образом,

+ iv(x(t), y(t))}{x'(t) + iy'(t)}dt = ò f (z(t))z¢(t)dt .

	a
	b
ò f (z)dz = ò f (z(t))z¢(t)dt .		(4.2)
L	a

Пример 4.1. Вычислить ò

где L = {z,

z - a

= r} –

окружность,

z - a

проходимая против часовой стрелки.

Решение.

Параметрическое уравнение окружности L

имеет вид

z = a + reij ,

0 £ j £ 2p , то есть z¢(j) =

= ireij

, поэтому по формуле (4.2)

= ò

ireij dj = i ò dj = 2pi .

L z - a

0 re

Пример 4.2. Вычислить ò z z dz , где L – часть окружности z = 1,

0 £ arg(z)£ p , выбрав за начало L точку z = 1.

Решение. Запишем уравнение кривой L в виде z = eit , 0 £ t £ p . Тогда z = e-it , dz = ieit dt . Используя формулу (4.2), получаем:

zdz = òe-itieit dt = iò dt = pi .

Пример 4.3. Вычислить:

ò(z2 + zz)dz , где L –

дуга параболы

y = x2 ,

0 £ x £ 1,

z = 0 – начало кривой.

Решение.

Выпишем

действительную

мнимую

части

подынтегральной функции:

z2 + zz = (x + iy)2 + (x + iy)(x - iy)= 2x2 + i2xy Þ

íu = 2x

îv = 2xy

Воспользовавшись формулой (4.1), имеем (y = x2 ,dy = 2xdx):

ò(z2 + zz)dz = ò 2x2dx - 2xydy + iò 2xydx + 2x2dy =

= 2ò(x2 - 2x4 )dx + 6iò x3dx = -

3i .

Пример 4.4. Вычислить: ò

, где L

– квадрат с вершинами в

Im z

Re z

точках 1,

i , -1, - i , проходимый против часовой стрелки (рис. 4.1).

Решение. Поскольку на сторонах квадрата ABCD выполняется

равенство

Re z

Im z

=1, получаем

òdz.

Im z

Re z

Посчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y =1- x ,

0 £ x £1, dy = -dx , dz = dx + idy = (1- i)dx ,

откуда

òdz = ò(1 - i)dx = -1 + i . Аналогично, ò dz = -1- i ,

Рис. 4.1

ò dz = 1- i , ò dz = 1+ i . Окончательно, ò

= 0.

Im z

Re z

§4.3. Интегральная теорема Коши

Теорема Коши (для простого контура).

Если f (z)

– функция, аналитическая в некоторой односвязной области

D , то интеграл

ò f (z)dz , взятый

вдоль любого

замкнутого жорданового

кусочно-гладкого контура G , лежащего в D , равен нулю.

Доказательство

проведем

в предположении

непрерывности f ¢(z)

вплоть до границы области D .

¶u

¶v

¶u

¶v

Так как f (z) – аналитическая, то

= -

, причем в силу

¶y

¶x

¶y

¶x

непрерывности

f ¢(z)

частные

производные функций u(x, y) , v(x, y)

непрерывны, следовательно, òudx - vdy = 0 и

òvdx + udy = 0 как интегралы

по замкнутому контуру от полных дифференциалов, поэтому ò f (z)dz = 0 . ■

Пример 4.5. Определить, когда для интеграла		dz		можно

	ò z2		- 9

	G

применить интегральную теорему Коши, если G : 1) z = 12 ; 2) z - 12 = 14 ; 3) z -1 = 5; 4) z = 4.

						1
Решение. Подынтегральная функция						f (z) =		имеет особенности
Решение. Подынтегральная функция						f (z) =	z2 - 9	имеет особенности
в точках	z = ±3. Поэтому
1)	круг	z	£	1	полностью входит в	область аналитичности f (z) , и
				1

			2
			2
теорема Коши имеет место;

2)рассуждения аналогичны п. 1);

3)в круге с центром z = 1 и радиуса 5 функция f (z) имеет особенности

ине является аналитической, следовательно, теорема Коши не применима;

4)рассуждая аналогично п. 3) получаем, что теорема Коши также не применима.

Следствия из теоремы Коши:

1) если f (z) аналитическая в области D , то интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если g1 Ì D и g 2 Ì D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то

ò f (z)dz = ò f (z)dz ;

g1 g 2

2) если функции f (z) и g(z) вместе со своими производными первого порядка аналитические в односвязной области D , то справедлива формула

z		z
ò f (x )g¢(x )dx = f (x )g(x )	zz0	- ò f ¢(x )g(x )dx ; z 0 , z Î D .


z0		z0

Теорема Коши (для сложного контура).

Пусть f (z) – функция, аналитическая в области D ; G и g k , k =1,n – спрямляемые жордановы кривые, лежащие в D ; причем g k принадлежат внутренности G , k =1,n ; каждая кривая g i лежит во внешности g k , i, k =1,n ,

i ¹ k ;

многосвязная

область

g ,

ограниченная

кривыми

G, g1,? , g n ,

принадлежит области

D .

Тогда

ò f (z)dz = å ò f (z)dz

(все

интегралы

k=1g k

берутся в одном направлении).

n = 2

Доказательство проведем для

(в

общем

случае

рассуждения

аналогичны).

Соединим

жордановыми

спрямляемыми

дугами

d1, d2 , d3

кривую G с g1,

g 2 , g 2 с G

соответственно и рассмотрим контуры

Рис. 4.1

= z

z¢

z¢ z

z¢

= z

z¢¢z

z¢¢ z

z¢ z¢¢

(рис. 4.1). По теореме

Коши для простого контура ò f (z)dz = 0 ,

ò f (z)dz = 0 .

Следовательно, 0 = ò f (z)dz + ò f (z)dz = ò f (z)dz +

ò f (z)dz +

-g1

+ ò f (z)dz + ... + ò f (z)dz , поэтому ò f (z)dz = å ò f (z)dz . ■

-g 2

-g n

k=1g k

Пример 4.6. Рассмотрим функцию

f (z) =

, аналитическую в области

D , получающейся из конечной плоскости путем исключения начала координат (область не является односвязной в конечной плоскости). Если G

– любая замкнутая жорданова спрямляемая кривая, внутри которой

находится начало координат,	а g – окружность с центром в					начале,
содержащаяся внутри G , то будем иметь ò		1	dz = ò	1	dz = 2pi .
		z
	G		g	z

§4.4. Интегральная формула Коши и ее следствия
Теорема (интегральная	формула Коши). Пусть функция					f (z) –

однозначная и аналитическая в области G , и L – замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая G вместе со своей внутренностью D .

Тогда для всякой точки z0 Î D справедлива формула

f (z0 ) =

f (z)dz

(4.3)

2pi ò

z - z

Доказательство. Опишем

из точки z0

как из

центра окружность радиуса r , столь малого, чтобы круг

z - z0

£ r

лежал

внутри

L (рис. 4.2). Тогда для

составного контура,

образованного кривыми L

и g r ,

будем иметь:

Рис. 4.2

f (z)dz

(4.4)

2pi

z - z

2pi

z - z

g r

Следовательно, для доказательства (4.3) достаточно установить

равенство

f (z0 ) =

f (z)dz

2pi

z - z

g r

или (используя пример 4.1.)

f (z)dz

- 2pif (z0 ) =

f (z)dz

- f (z0 )

f (z) - f (z0 )

dz = 0. (4.5)

z - z

ò z - z

z - z

g r

В силу непрерывности f (z) в точке z0

неравенство

f (z) - f (z0 )

< e

( z Îg r ) будет выполняться "e > 0 , если r < d (e ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019275.97 Кб1Lektsia_7.doc
#
19.09.2019140.29 Кб1Lektsia_8.doc
#
09.06.2015584.79 Кб17lektsii_141_matan1.pdf
#
09.06.2015853.56 Кб110Lektsii_po_analiticheskoy_geometrii_Novikov.pdf
#
09.06.2015378.37 Кб7Lektsii_po_filosofii_2011.doc
#
29.03.2016871.98 Кб27Lektsii_TFKP.pdf
#
09.06.201521.62 Mб86leng_algebra.pdf
#
09.06.2015137.73 Кб63litologia.doc
#
09.06.2015599.6 Кб11Maciashek_978-5-94774-488-0_Glava1_cB488-0.pdf
#
07.09.2019978.43 Кб2MAKROEKONOMIKA_1.doc
#
09.06.2015524.95 Кб10MatAn1semestr.pdf