Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_TFKP

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

871.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Каждое	значение функции	w = Ln z называется логарифмом
комплексного	числа. Значение логарифма комплексного числа z , z ¹ 0 ,

которое соответствует ln z + i arg z , называется главным значением функции w = Ln z и обозначается ln z :

ln z = ln z + i arg z , - p < arg z £ p .

Поэтому Ln z = ln z + 2pki , k Î Z .

Пример 3.7.

Ln1= 2pki , k Î Z ;

Ln(-1) = (2k + 1)pi , k Î Z ;

= ln 2

+ (8k -1)

, k Î Z .

Ln(1 - i) = ln 2 + iç

+ 2pk ÷

Правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и

для

многозначного

логарифма

комплексного

числа:

Ln(z

× z

) = Ln z + Ln z

, Ln

= Ln z

- Ln z

(равенства следует понимать в

Ln z + Ln z ¹ 2Ln z , т.к. сумма

том смысле, что эти множества

одинаковы).

получается из множества чисел Ln z путем сложения любого из этих чисел с

таким же или отличным от него числом того же множества, а множество 2Ln z получается путем удвоения каждого из чисел Ln z .

В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом вдоль луча, выходящего из начала координат под углом a1 к действительной

оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции w = Ln z . Каждая из этих ветвей отображает область D на одну из

полос

Dk	= {w :a1 + 2pk < Im w < a1 + 2(k +1)p}, k Î Z .							(3.7)
Для выделения однозначной ветви логарифмической функции w = Ln z
достаточно определить полосу Dk ,		на которую эта ветвь отображает область
D . Для определения полосы Dk		достаточно	вычислить		лишь значение
логарифмической функции в какой-нибудь точке					z0 Î D .			Ветвь
логарифмической функции w = Ln z , которая			отображает		D			на Dk ,
обозначим Lnk z .		k Î Z ,
Тогда	Lnk z = Ln0 z + 2pki ,		где	Ln0 z = ln		z	+ iArg0 z ,

a1 < Arg0 z < a1 + 2p .

Каждая ветвь Lnk z удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой (Lnk z)¢ = 1z , k Î Z , z Î D . Следовательно, отображение,

осуществляемое каждой ветвью логарифмической функции, является конформным для всех точек z Î D .

	Так как главное значение аргумента комплексного числа выбирается из
(- p ,p ], то в формуле (3.7) естественно выбрать a1 = -p , тогда область D –
это	плоскость	с	разрезом	по	лучу	(- ¥,0],
Dk = {w : (2k -1)p < Im w < (2k +1)p}, k Î Z .
	Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на полосу
D0 ,	является главной	ветвью	ln z , остальные	однозначные		непрерывные

ветви функции w = Ln z в этой области имеют вид Lnk z = ln z + 2pki , k Î Z . Значение Ln z , равное Lnk z , при однократном обходе точки z вокруг

начала координат вдоль какой-нибудь окружности z = r переходит в число Lnk +1z , если обход совершается против движения часовой стрелки, и в число Lnk -1z – при обходе по часовой стрелке.

Конечная точка z , при обходе которой по какой-нибудь окружности

достаточно малого радиуса, многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется точкой ветвления

функции. Это определение естественным образом переносится и на случай z = ¥ .

Точки z = 0, z = ¥ – точки ветвления w = Ln z .

Пример 3.8. Найти образ плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси при отображении той ветвью логарифмической функции w = Ln z , которая точку z0 = 1 переводит в точку w0 = 4pi .

Решение. Полоса Dk , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью Lnk z логарифмической функции, которую найдем из условия Lnk 1= 4pi . Положив

равенстве

(3.6)

( Lnk z = ln

+ iarg z + 2kpi , k Î Z ) z = 1,

получим

4pi = 2kpi , т.е.

k = 2.

Lnk (1)= 4pi

Отсюда условием

определяется ветвь

Ln2 z = ln z + 4pi , которая, согласно формуле (3.7),

указанную

область

отображает на полосу D2 = {w :3p < Im(w)< 5p}.

Пример 3.9. Найти образ области

D = {z : 2 <

< 4, z Ï[- 4,- 2]} при

отображении

ветвью

логарифмической

функции

w = Ln z ,

которая

определяется ее значением w0 = -2pi в данной точке z0 =1. Решение. Ветвь, определяемая условием Ln1= -2pi , имеет вид

Ln-1z = ln z + iarg z - 2pi .

При этом отображении образом области D = {z : -p < arg z < p} является

полоса

D-1 = {w: -3p < Imw < -p}.

Образом

дуги окружности

= 2 ,

- p < arg(z)< p , является

u = ln 2 , - 3p < v < -p , а

отрезок

образом

дуги

окружности

= 4 , - p < arg(z)< p ,

является отрезок u = ln 4 ,

- 3p < v < -p .

Поэтому

образом

области

является

прямоугольник

ln 2 < u < ln 4 ,- 3p < v < -p .

§ 3.6. Степенная функция, ее свойства

Функция w = zn , n = 2, 3,? , называется целой степенной функцией; она определена и однозначна на всей комплексной плоскости.

Функция w = zn аналитическая во всей комплексной плоскости

(производная w¢ = nzn-1 существует во всех точках плоскости); отображение, осуществляемое посредством степенной функции, конформно в каждой

точке комплексной плоскости, кроме z = 0 (w¢ = nzn-1 обращается в нуль при z = 0 ).

Положив z = reij , w = reiy , находим r = r n , y = nj , поэтому отображение w = zn каждый вектор z ¹ 0 поворачивает на угол (n -1)arg z . Это означает, что образом луча, выходящего из начала координат, является


луч, также выходящий				из начала координат; образом окружности	z	= R

является окружность		w	= Rn .

Функция	w = zn			отображает взаимно-однозначно и конформно
внутренность	любого			угла с вершиной в точке z = 0 и раствора a ,

0 < a <	2p	, на внутренность угла с вершиной в точке w = 0 и раствора na ,
0 < a <	n
	n				2p
0 < na < 2p . При			a =		2p	функция w = zn отображает область
0 < na < 2p . При			a =		n	функция w = zn отображает область
					n
ì			2p ü
D = íz :j0		< arg z < j0 +		ý	на плоскость с разрезом вдоль луча arg w = nj0 .
D = íz :j0		< arg z < j0 +		ý	на плоскость с разрезом вдоль луча arg w = nj0 .
î			n þ

Замечание. Два семейства прямых, параллельных координатным осям,

отображаются посредством	функции w = z2 в два семейства				парабол с
общим фокусом в начале координат и с осями на действительной оси.
Пример 3.10. Найти	образы			при отображении w = z2	следующих
ì		p	ü	; b) D = {z : Im z < -1}.
областей: a) D = íz : - p < arg z < -		2	ý	; b) D = {z : Im z < -1}.
î		2	þ

Решение.

a) Так как образом луча arg z = -p при отображении функцией

w = z2 является луч arg w = -2p , а образом луча arg z = - p – луч arg w = -p ,
							p		2
то образом			области	ì				ü	является	область
				D = íz : - p < arg z < -			2	ý
				î				þ
D = {w : 0 < arg w < p}, то есть верхняя полуплоскость.
b)	Так как функция w = z2 взаимно однозначно переводит прямую
Im z = c	в	параболу		v2 = 4c2 (c2 + u),	то	образом границы				области
D = {z : Im z < -1}			– прямой Im z = -1 –		является				парабола v2 = 4(1 + u).
Поскольку точка			z = 0 ,	не принадлежащая области					D = {z : Im z < -1},		при
отображении		w = z2 остается неподвижной,				то ее			образ w = 0	также	не

принадлежит образу этой области. Значит, образом области является внешность параболы v2 = 4(1 + u).

Пример 3.11. Найти образы

заданных

множеств

при указанных

отображениях: a)

< 2, 0

< arg z <

w = z

; b)

D = {z : Re z = 2},

D = íz :1

w = z2 .

Решение.

a)Так как при отображении w = z4 окружность z = R переходит в

окружность z = R4 , образом луча arg z = 0 является луч arg w = 0 , а образом

луча

arg z = p

–

луч

arg w = p ,

то

образом

области

< 2, 0

< arg z <

является

область

D = íz :1

D = {z :1<

<16, 0 < arg w < p}.

b)Так как функция w = z2 взаимно однозначно переводит прямую

Re z = c	в параболу v2 = 4c2 (c2 - u), то образом								множества	D – прямой
Re z = 2 – является парабола v2 =16(4 - u).
Функция w = n z , обратная к z = wn ,							определена на всей комплексной
плоскости, n -значна при z ¹ 0 .
Все n		значений,			представляющих те точки плоскости					w,	в которых
wn принимает одно и					то	же значение		z , располагаются		в	вершинах
правильного			n -угольника,			вписанного		в	окружность		w = n z
æ	æ	Arg z		+ isin	Arg z öö		вершины любого правильного n -
ç w = n z çcos						÷÷ . Обратно,
è	è	n			n	øø
угольника с		центром в начале координат						можно рассматривать как n

значений n z . Поэтому область D плоскости w будет областью

однолистности для z = wn тогда и только тогда, когда из n вершин любого правильного многоугольника с центром w = 0 она содержит не более, чем одну вершину.

Пусть область D – комплексная плоскость с разрезом по лучу, выходящему из начала координат под углом j0 к положительному

направлению действительной оси. В этой области существуют n различных ветвей

(n z )	= n	æ	Arg	k	z	+
(n z )	= n	z çcos		k		+
k		è	n
		è	n

isin	Arg	k	z ö	k = 0,1,? , n -1,	(3.8)
	n		÷ ,
			ø

где j0 + 2pk < Argk z < j0 + 2p (k + 1),

функции

n z . Каждая из ветвей

взаимно-однозначно отображает область D на один из секторов

ìw:

k < Argw <

(k + 1)ü

, k = 0,1,? , n -1.

Для выделения ветви (n z )k , k = 0,1,? , n -1, достаточно определить сектор Dk , на который эта ветвь отображает область D . При проведении разрезов в

комплексной

плоскости

удобно

брать

j0 = 0(разрез

по положительному

направлению

оси

Ox )

или j0 = -p

(разрез

по

отрицательной

части

действительной оси).

В результате однократного обхода вокруг начала координат вдоль

какой-либо

окружности

= r

значения n z ,

непрерывно изменяясь,

(n z )k

(n z )k+1

переходят от ветви

к ветви

при обходе против часовой стрелки

и к ветви (n z )k-1 при обходе по часовой стрелке. После n -кратного обхода

вокруг начала координат в одном направлении значение функции

n z ,

переходя с одной ветви к другой, придет к исходному.

Точки z = 0, z = ¥ - точки ветвления функции w = n z .

Каждая ветвь функции w = n z

удовлетворяет теореме о производной

обратной функции, по которой

(n z )k =

, k = 0,? , n -1, z Î D ,

n(n z )kn-1

и поэтому осуществляет конформное отображение области D на одну из областей Dk .

Пример 3.12. Найти образы следующих областей при отображении

ветвью функции

w =

z , выделяемой ее значением в указанной точке: a)

D = {z : Im z > 0},

i = -

1 + i

; b) D = {z : (Im z)2 > 2Re z + 1},

-1 = -i .

Решение.

Так как w =

– обратная к z = w2 функция, то задание можно

переформулировать

следующим

образом:

в w-плоскости найти

такую

область,

которая при отображении z = w2 переводится в данную область D .

Таких

областей

две:

D1 =

íw: 0 < arg w <

Из

этих

двух

областей

выбираем ту,

которая

D2 = íw: - p < arg w < -

ý .

содержит точку w = -

1 + i , то есть D .

В z -плоскости

D –

внешность параболы

y2 = 2x + 1,

которая

является

образом

при

отображении

z = w2

прямой

Imw =

2 (или

Imw = -

2 ). Таким образом,

область

D является образом двух областей:

2 ü

D2 =

Из

этих

двух областей

D1 = íw: Imw >

íw: Imw < -

ý .

выбираем ту, которая содержит точку w = -i , то есть D2 .

Пример 3.13. В плоскости z

с разрезом по положительной части

действительной оси найти значение ветви функции 3

z в точке

z = 8i при

условии 3 -1 = -1.

Решение. По формуле (3.8),

(3 z )k = 3

Arg

+ isin

Arg

z çcos

÷,

k =0, 1, 2,

где 2pk < Arg k z < 2p (k + 1), так как j0

= 0 . Из условия 3

-1 = -1 имеем

cos

Arg k (-1)

+ isin

Arg k (-1)

= -1.

Arg k (-1)

Отсюда cos

= -1 и Arg k (-1)

= 3p .

k = 1 и искомая ветвь имеет вид

Таким образом,

(3 z )

Arg

+ isin

Arg

z ö

z < 4p ,

3 z çcos

÷ , 2p < Arg

а ее значением в точке z = 8i

будет

Arg 1(8i)

Arg 1(8i)ö

(3 8 i )1= 2çcos

+ isin

= 2çcos

+ isin

÷ = - 3

+ i .

Пример 3.14. Найти образ верхней полуплоскости при отображении

той ветвью функции 3

z , которая точку i

переводит в точку

3 + i .

Решение. Возьмем j0

= 0 . По формуле (3.8),

(3	æ	Arg		z	+
(3	z )k = 3 z çcos	3	k		+
	è	3

где 2pk < Arg k z < 2p (k + 1).

isin Arg k z ö, k =0, 1, 2,

3 ø

Из

условия			3	i = -		3	+ i	получаем	k = 1.	Тогда
	2p			4p ü		2	2
ì	2p			4p ü
= íw:		< Arg w <			ý
= íw:		< Arg w <			ý
î	3			3 þ

является образом	плоскости		z с разрезом по положительной
действительной оси при отображении ветвью (3 z )1 .
Итак, образом верхней полуплоскости при отображении ветвью
ì	2p		ü
будет область íw :		< arg(w)< p ý.
будет область íw :	3	< arg(w)< p ý.
î	3		þ

части

(3 z )1

§ 3.7. Функция Жуковского и обратная ей, их свойства

		1	æ	1 ö
Функция, задаваемая равенством	w =		ç z +		÷ , называется функцией

		2	è	z ø

Жуковского.

Во всех точках комплексной плоскости, кроме z = 0, z = ¥ , функция

¢	1	æ	-	1	ö
¢		ç1			÷ .
аналитическая; w (z) =		ç1		z2	÷ .
	2	è		z2	ø

Функция Жуковского однолистна в любой области D , в которой нет различных точек, связанных равенством z1 × z2 = 1, в частности, если D : а)

z > 1; б) z < 1; в) Im z > 0 ; г) Im z < 0 .

Геометрическое

поведение

функции.

Пусть z = reij ,

r =

. Тогда,

записав функцию Жуковского в виде w = u + iv , получим

1 ö

u =

ç r +

÷ cosj , v =

çr -

÷sinj .

(3.9)

r ø

Рассмотрим

окружность

z = r × eij ,

0 £ j £ 2p ,

r > 0

–

фиксированное число.

cosj =

u =

ç r +

÷ cosj ,

v =

ç r -

÷sinj

1 ö

ç r +

r ø

sinj =

(r ¹ 1) , т.е.

= 1 (r ¹ 1) .

1 ö2

ö2

ç r -

ç r +

ç r -

r ø

Следовательно, функция Жуковского переводит окружность z = r × eij

(r ¹ 1) в эллипс с полуосями

ç r +

r -

и фокусами w = ±1.

При

r > 1

0 < r < 1

эллипсы

ориентированы

так

же,

как и

окружности,

при

эллипсы ориентированы противоположно окружностям.

При

r = 1 эллипс

вырождается в отрезок

[-1,1], проходимый дважды, т.е. образом окружности

z = 1 является отрезок [-1,1], проходимый дважды. Таким образом, функция

Жуковского конформно отображает внешность (внутренность) единичного круга на внешность отрезка [-1,1] (рис. 3.3).

2.Рассмотрим луч z = reia , 0 < r < +¥ , a – фиксировано.

1 ö

1 æ

u =

ç r +

÷cosa , v =

ç r -

÷sina ,

0 < r < +¥ , Þ

çr +

÷ ,

cosa

r ø

2 è

çr -

÷ , a ¹

, k Î Z .

sina

Значит,

= 1,

a ¹

, k Î Z .

(3.10)

cos2 a

sin2 a

Это

уравнение

задает

гиперболу

фокусами в

точках

w = ±1

асимптотами v = ±u × tga .

			Рис. 3.3
При		0 < a < p	луч z = reia переходит в правую ветвь гиперболы, при
p < a < p		2
p < a < p		– в левую ветвь (рис. 3.4); при замене a на -a получаем ту же
2
ветвь гиперболы, но с противоположной ориентацией.
Луч		arg z = 0	переходит в луч [1, ¥), проходимый дважды; луч
arg z = p		переходит в луч (- ¥, -1], проходимый дважды. Лучи arg z = p ,
	3p		2
arg z =	3p	переходят в мнимую ось Re w = 0 .
arg z =		переходят в мнимую ось Re w = 0 .
2

Таким образом, функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость Im z > 0 на плоскость w с разрезами по лучам (- ¥, -1] и

[1, ¥); нижняя полуплоскость Im z < 0 отображается аналогично.

Пример 3.15. Найти образы следующих множеств при отображении

1ù é

функцией Жуковского

w =

ç z +

÷ : a)

D =

íz :

<1,

z Ï ê-1,

ú È ê

,1ú

ý;

2û ë

D = íz :

£ arg z £

, z Ï[0, i]ý.

Решение.

=1 отображается функцией

Окружность единичного радиуса

Жуковского в отрезок [-1,1],

проходимый дважды.

При помощи формулы

(j = p ,

(3.9) находим, что отрезок действительной оси

x Î

ê-1, -

ú ,

y = 0

£ r £1)

переходит

отрезок

действительной

оси

u Î ê-

, -1ú

v = 0;

x Î

é1

y = 0 (j = 0 ,

£ r £1)

отрезок действительной оси

,1ú ,

переходит в

ë2

u Î

5ù

, v = 0.

отрезок действительной оси

ê1,

Таким образом, исходная

4û

область отображается на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку

действительной оси u Î

ê-

ú , v = 0.

Так как луч

arg z = p

переходит в мнимую ось Re w = 0

; w(i)= 0 ,

æ i

= -i

и w(0)= ¥

, то отрезок x = 0, 0 £ y £1, проходимый дважды,

wç

è 2

переходит в отрицательную часть мнимой оси, проходимую дважды. При

помощи формулы (3.10) находим, что луч				arg z =	3p	(j =	3p	,	0 £ r < ¥ )
				4		4
переходит	в левую ветвь		гиперболы 2u2 - 2v2 =1; луч arg z = p							(j = p ,
									4	4
0 £ r < ¥ )	переходит	в	правую ветвь гиперболы			2u2 - 2v2 =1.				Таким
образом,	исходная	область отображается		на внутренность					гиперболы
2u2 - 2v2 =1 с разрезом по отрицательной части мнимой оси.

Пример 3.16. Найти образ области D = íz :

x2	+	y2	>1, a >1ü	при

a2		a2 -1	ý
			þ

отображении ветвью функции w = z +	z2 -1 такой, что w(¥)= 0 .
Решение. В w-плоскости существуют две области, которые функцией
Жуковского отображаются на	указанную	внешность	эллипса:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019275.97 Кб1Lektsia_7.doc
#
19.09.2019140.29 Кб1Lektsia_8.doc
#
09.06.2015584.79 Кб17lektsii_141_matan1.pdf
#
09.06.2015853.56 Кб110Lektsii_po_analiticheskoy_geometrii_Novikov.pdf
#
09.06.2015378.37 Кб7Lektsii_po_filosofii_2011.doc
#
29.03.2016871.98 Кб27Lektsii_TFKP.pdf
#
09.06.201521.62 Mб86leng_algebra.pdf
#
09.06.2015137.73 Кб63litologia.doc
#
09.06.2015599.6 Кб11Maciashek_978-5-94774-488-0_Glava1_cB488-0.pdf
#
07.09.2019978.43 Кб2MAKROEKONOMIKA_1.doc
#
09.06.2015524.95 Кб10MatAn1semestr.pdf