5. Синтез систем управления

Синтез систем управления – расчет, имеющий целью отыскать рациональную структуру системы и установить оптимальные величины параметров ее отдельных звеньев. Также синтезом является определение вида и параметров корректирующих средств, которые нужно добавить к неизменяемой части системы, чтобы обеспечить требуемые динамические качества (например, точность и приемлимый характер переходных процессов).

Таким образом, задача синтеза системы управления превращается в задачу синтеза регулятора (корректирующего устройства).

Классическая схема

Чаще всего регулятор включается перед объектом:

регулятор привод объект

Х

e u d y

(-)

g

Задача системы управления состоит в том, чтобы подавить действие внешнего возмущения g и обеспечить быстрые и качественные переходные процессы. Фактически необходимо скорректировать систему так, чтобы она имела нужные передаточные функции по возмущению (W_g(s) от возмущения g к выходу Y) и по задающему воздействию (W(s) от входа Х к выходу Y):

Так как в этом случае используется один регулятор C(s) – система называется системой с одной степенью свободы.

Две приведенные выше передаточные функции связаны равенством:

Поэтому, изменяя одну передаточную функцию, меняется и вторая передаточная функция.

Проверим, возможно ли в такой системе обеспечить нулевую ошибку (т.е. абсолютно точно отследить входной сигнал). Передаточная функция по ошибке W_e(s) (входа X к ошибке е) равна:

Для того чтобы ошибка всегда была нулевой, требуется W_e(s) = 0. Поскольку числитель W_e(s) не нуль, получаем, что знаменатель W_e(s) должен обращаться в бесконечность. В нашем случае изменяется только функция C(s), а остальные передаточные функции известны заранее (т.е. W_e(s) = 0 при C(s) = ∞). Таким образом, для уменьшения ошибки необходимо увеличивать коэффициент усиления регулятора. Однако невозможно увеличивать коэффициент усиления до бесконечности:

1. все реальные устройства имеют предельно допустимые значения входных и выходных сигналов;

2. при большом усилении контура ухудшается качество переходных процессов, усиливается влияние возмущений и шумов, система может потерять устойчивость.

В схеме с одной степенью свободы (классической схеме) нулевую ошибку слежения сделать невозможно.

ПИД – регуляторы

Несмотря на развитие современных методов проектирования сложных регуляторов, подавляющее большинство реальных систем управления основаны на использовании регуляторов первого и второго порядка. Эти регуляторы во многих случаях обеспечивают приемлимое качество управления, легко настраиваются и имеют невысокую стоимость при массовом изготовлении.

Простейший регулятор – П-регулятор.

Его передаточная функция: C(s) = К. при помощи П-регулятора можно управлять любым устойчивым объектом, однако он дает медленные переходные процессы и ненулевую статическую ошибку. Его выход:

U(t) = К * e(t), где e(t) – ошибка управления.

Чтобы убрать статическую ошибку в установившемся режиме, в регулятор вводят интегральный канал с коэффициентом усиления K_и:

Такой регулятор называется ПИ-регулятором. Интегратор выдает сигнал, пропорциональный накопленной ошибке, переходный процесс замедляется, но за счет интегрального канала обеспечивается нулевая ошибка в установившемся режиме при ступенчатом возмущении и ступенчатом изменении входного сигнала.

Для ускорения переходных процессов добавляют дифференциальный канал с коэффициентом усиления К_д:

Такой регулятор называется ПИД-регулятором. Регуляторы этого типа хорошо зарекомендовали себя в практических задачах.

Кроме того, иногда используются ПД-регуляторы (у них нет интегрального канала).

Управление по производной – быстрый способ управления. Сигнал дифференциального канала важен при изменении входов, он исчезает в установившемся режиме и позволяет реагировать не на увеличение ошибки, а на тенденцию ее изменения. Недостатком использования является влияние высокочастотных помех.

Для того чтобы сделать ПИД-регулятор физически реализуемым, вместо идеального дифференцирования используют инерционно-дифференцирующее звено с малой постоянной времени Т_д:

Чем меньше постоянная времени Т_д, тем в большем частотном диапазоне выполняется точное дифференцирование, но сильнее влияют высокочастотные помехи.

На практике для устойчивого объекта коэффициенты регулятора выбираются опытным путем (эксперимент с реальным объектом).

Комбинированное управление

Один из способов улучшения качества управления является изменение структуры системы при добавлении в нее второго регулятора на входе с передаточной функцией C₂(s):

привод объект

Х e u d y

(-)

g

Теперь передаточная функция системы W(s) равна:

Передаточная функция контура только с регулятором C(s) W₁(s) равна:

Регулятор C₂(s) не влияет на свойства контура управления (запас устойчивости, робастность, подавление возмущений), а влияет только на переходные процессы при изменении задающего воздействия.

Сначала необходимо построить регулятор C(s) в контуре так, чтобы обеспечить нужный уровень подавления возмущений и робастность, а затем сформировать нужные качества передаточной функции W(s) с помощью регулятора C₂(s). Две передаточные функции W(s) и W₁(s) можно изменять независимо друг от друга – такая схема называется комбинированным управлением или управлением с двумя степенями свободы.

В идеальном случае необходимо, чтобы система точно воспроизводила сигнал х(t) на выходе y(t), т.е. нужно обеспечить: W(s) = 1; а для этого требуется:

(1)

Следовательно, регулятор C₂(s) должен быть инверсией для функции W₁(s). Частотная характеристика W₁(jω) в реальных системах близка к нулю на высоких частотах, значит, регулятор C₂(s) должен иметь в этом частотном диапазоне большое усиление.

Например, для:

То есть регулятор содержит физически нереализуемое дифференцирующее звено.

Таким образом, в практических задачах точная инверсия может не применяться. Обычно приближенно обеспечивают равенство (1) для тех частот, где важно отследить входной сигнал.

Множество стабилизирующих регуляторов

Не каждый регулятор может стабилизировать систему, поэтому важно выделить множество регуляторов, обеспечивающих устойчивость замкнутого контура. Такие регуляторы называются стабилизирующими. При этом обеспечивается параметризация (все множество стабилизирующих регуляторов представляется в виде формулы, зависящей от некоторого произвольно выбранного параметра).

Рассмотрим простейшую замкнутую систему:

регулятор объект

Х

e u y

(-)

Передаточная функция системы равна:

Регулятор C(s) входит в выражение для передаточной функции W(s) нелинейно, что осложняет анализ и синтез системы.

Передаточную функцию W(s) представим в виде:

где:

Отсюда:

(2)

Функция Q(s) должна быть устойчивой, чтобы была устойчива функция W(s). Если объект P(s) устойчив, то регулятор C(s) в выражении (2) всегда будет стабилизирующим.

Формула (2) - это параметризация множества стабилизирующих регуляторов для устойчивых объектов. Параметром в (2) является устойчивая функция Q(s), которая может выбираться произвольно. Регулятор C(s) на практике должен быть физически реализуемым, при этом передаточная функция C(s) должна быть правильной (степень числителя не больше степени знаменателя). Функция Q(s) также должна быть правильной.

Для оптимального слежения нужно выбрать:

что дает: W(s) = 1, однако реально это невозможно. В реальных задачах, P(s) – строго правильная функция и, следовательно, Q(s) получается неправильной функцией. Поэтому применяют компромиссные решения, обеспечивая приближенную инверсию только для полосы частот.

Существует множество методов синтеза, в которых устойчивая и правильная функция Q(s) выбирается в результате численной оптимизации по какому-либо критерию. Затем передаточная функция регулятора рассчитывается по выражению (2).

Пример

Р(s) – неустойчивая функция

Выберем Q(s) = 1

Получим:

Передаточная функция замкнутой системы равна:

Как видно, из полученной передаточной функции W(s) система при таких параметрах является неустойчивой.

Таким образом, параметризация (2) в этом случае не применима. Для неустойчивых объектов применяют более сложную параметризацию.

Передаточная функция объекта P(s) имеет вид:

Представим передаточную функцию объекта в виде:

где:

Функция f(s) представляет собой устойчивый полином, равный наибольшей степени полиномов n(s) и d(s).

Причем для стабилизации необходимо:

(3)

где: X(s),Y(s) – правильные устойчивые передаточные функции.

Тогда:

(4)

где: Q(s) – произвольная правильная устойчивая передаточная функция.

Выражение (4) определяет параметризацию множества стабилизирующих регуляторов в общем случае, в том числе для неустойчивых объектов.

Подставив (4) в выражение (3), получим:

При синтезе сначала выбирают Q(s), а затем вычисляют по формуле (4) передаточную функцию регулятора С(s).

Возвратимся к примеру с неустойчивым объектом:

Примем:

где:

Условие (3) выполняется:

Далее по формуле (4) найдем передаточную функцию C(s), получим:

Проверим, устойчива ли замкнутая система управления с такими параметрами:

Система устойчива.