Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский педагогический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

										Применение комплексных чисел в тригонометрии
Задача 1. Выразить cos																							2								и sin							2						в радикалах.
Задача 1. Выразить cos																															и sin							5						в радикалах.
																								5														5
																												2														2					5														2				2
Заметим сначала, что cos																																			i sin																1			, поскольку cos									i sin				есть
Заметим сначала, что cos																																			i sin																1			, поскольку cos									i sin				есть
																														5												5																			5					5
один из корней пятой степени из единицы.
Для вычисления a b n																									используем треугольник Паскаля:
a b																								1												1
a b 2																			1													2						1
a b 3															1									3												3						1
a b 4											1								4													6						4										1
a b 5									1						5									10												10												5							1
a b 6			1								6								15															20								15												6			1
Тогда
			2												2				5											5		2														4		2							2			2		3 2				2 2
1 cos							i sin												cos																				5i cos													sin					10i		cos			sin
1 cos							i sin												cos																				5i cos													sin					10i		cos			sin
			5												5																			5														5							5						5			5
10i3 cos2						2				sin3						2				5i4 cos													2				sin4						2				i5 sin5									2
10i3 cos2										sin3										5i4 cos																	sin4										i5 sin5
							5								5																			5								5													5
cos5	2		5i cos4									2					sin				2					10cos3														2					sin			2 2
cos5			5i cos4														sin									10cos3																			sin
5															5				5																			5										5
10i cos2				2				sin3						2					5cos								2							sin4					2					isin5									2			1.
10i cos2								sin3											5cos															sin4										isin5												1.
			5												5													5										5																5
Приравняем действительные и мнимые части:
cos5	2		10cos3										2					sin2				2							5cos										2					sin4					2					1,
cos5			10cos3															sin2											5cos															sin4										1,
5															5									5														5										5
5cos4		2			sin					2		10cos2													2						sin3						2				sin5									2				0 .
5cos4					sin							10cos2																			sin3										sin5													0 .
5									5															5												5												5

Исключим cos								2 2					из второго уравнения, выразив его через sin																																		2	2	, по фор-
Исключим cos									5				из второго уравнения, выразив его через sin																																			5	, по фор-
									5																																							5
муле cos2 1 sin2 , и получим уравнение
			2 2 2									2															2 2								3 2							5 2
5 1 sin								sin									10				1 sin												sin							sin				0 .
5 1 sin								sin									10				1 sin												sin							sin				0 .
				5								5																		5							5					5
После раскрытия скобок и приведения подобных получим
		2		5										2 3												2
16	sin			20					sin									5sin													0 или
16	sin			20					sin									5sin													0 или
		5														5										5
16t5 20t3				5t 0, где t sin																				2	.
16t5 20t3				5t 0, где t sin																					.
																					5
Биквадратное уравнение 16t4 20t2																															5 0 имеет дискриминант
																															20								5
D 400 4 5 16 80 , поэтому t2																															20			80					5		5		.
D 400 4 5 16 80 , поэтому t2																																32											.
																																32								8
Положительные корни уравнения 16t4 20t2																																						5 0 равны

		5
						5				2

t											5 5 .
t											5 5 .
1,2			8						4
			8						4
							2													2																										2
																																																	2
																																2				2	2

Учтем, что													и sin										sin																	. Получим: sin											5 5
Учтем, что													и sin										sin																	. Получим: sin						5			4		5 5
				5					4										5								4					2					4									5			4


. Затем вычислим cos															2							1 sin2						2						1			10 2					5			6 2	5				5 1		.
. Затем вычислим cos																						1 sin2												1																		.
																5													5											16				16					4

					2					5 1												2					2
																															5
Ответ: cos																	, sin																	5 .
Ответ: cos																	, sin																	5 .
				5								4									5						4
Задача 2. Выразить величину sin 7x через sin x и cos x .
С одной стороны, по формуле Муавра cos x i sin x 7 cos7x i sin 7x ,
с другой стороны,
cos x i sin x 7								cos7 x 7i cos6 xsin x 21cos5 xsin2																																	x
35i cos4 xsin3 x 35cos3 xsin4 x 21i cos2																																		xsin5 x 7cos xsin6 x i sin7 x .

Приравнивая мнимые части (используя подчеркнутые слагаемые), получаем

Ответ: sin 7x 7cos6 x sin x 35cos4 x sin3 x 21cos2 x sin5 x sin7 x .

Индивидуальные задания

Вариант 1

1. Пусть 1 = 3 + 2 , 2 = 1 + .

	̅̅̅		2	−2	4
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	̅̅̅		) .
			̅̅̅
	2			2

2. Представьте число

= √12 + 2

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 + ,

2 = 8 + 8.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)24.

4.Найдите все комплексные корни уравнения

2 + + 4 − 2 = 0.

Вариант 3

1. Пусть 1 = 3 , 2 = 4 − .

Вычислите ̅̅̅1 ; (34 ∙ 1̅̅̅− 2)6.

2 1

2.Представьте число

= (3 − 3√3)

втригонометрической форме

3.Пусть 1 = √3 − ,2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1/ 2)6.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (1 − ).

Вариант 2

1. Пусть 1 = 1 + 2 , 2 = −3 .

	̅̅̅		3		̅̅̅−	6
Вычислите	2	; (		∙	1 2	) .
	1		2		2

2. Представьте число

= +

10 10

в тригонометрической форме.

3. Пусть 1 = 1 + √3,2 = 8 + 8.

Вычислите ( 1/2 2)12.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплексного числа (1 + √3).

Вариант 4

1. Пусть 1 = 4 + 3 , 2 = − .

				̅̅̅			+̅̅̅ 12
	Вычислите			1	;	(	1 2		) .

							4̅̅̅
			2			2
2.	Представьте число = 3 − 3
	в тригонометрической форме.

3.	Пусть 1 = 1 + √3,
		=	+					.

	2	8				8

	Вычислите			(		∙ /2)12.
			1			2

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплексного числа (– ).

Вариант 5

1. Пусть 1 = 3 + 4 , 2 = .

			̅̅̅+	14
Вычислите	1	; (	1 2	) .
Вычислите	̅̅̅	; (	3	) .
	̅̅̅		3
	2	2

2. Представьте число = 1 − √3 в тригонометрической форме.

3. Пусть 1 = −1 + √3,2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)18.

4.Решите уравнение

| | = (2 ̅+ 1).

Вариант 7

1.Пусть 1 = 3 + , 2 = 2 .

Вычислите ̅̅̅2 ; (43 ∙ 1̅̅̅+ 2)8.

2.Представьте число

= s 12 + cos 12

втригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 + ,

2 = −cos 4 + sin 4.

Вычислите ( 1 2/2)8.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме кубические корни из комплексного числа (– ).

Вариант 9

1. Пусть 1 = 2 + , 2 = 1 − .

	̅̅̅			−	3
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите	2	; (	̅̅̅		) .
	2		̅̅̅
	2			1

2. Представьте число

= − /8 − /8

в тригонометрической форме.

3. Пусть 1 = √3 − ,2 = 8 − 8.

Вариант 6

1. Пусть 1 = 4 , 2 = − 3.

Вычислите 1 ; (4 ∙ 1− 2)6.

2 3 1

2. Представьте число

= (1 − √2)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 + ,

2 = 8 + 8.

Вычислите (2 2/ 1)12.

4.Решите уравнение

| | = 1 + 2 ̅.

Вариант 8

1. Пусть 1 = 4 − 3 , 2 = − .

	̅̅̅			+	12
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	4̅̅̅		) .
			4̅̅̅
	2			2

2. Представьте число = −4 + 4 в тригонометрической форме.

3. Пусть 1 = 1 − √3,2 = 8 + 8.

Вычислите ( 1 2/2)12.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплексного числа .

Вариант 10

1. Пусть 1 = 1 − 2 , 2 = 3 .

	̅̅̅		3		̅̅̅+	6
Вычислите	2	; (		∙	1 2	) .
	1		2		2

2.Представьте число = 2 − 2√3 в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 − √3,

2 = 8 + 8.

Вычислите ( 1/2 2)12.

Вычислите ( 1 2/2)12.

4.Найдите комплексные корни уравнения

2 + (1 − 3 ) − 2 − = 0.

Вариант 11

1. Пусть 1 = −3 , 2 = 4 + .

Вычислите ̅̅̅1 ; (34 ∙ 1̅̅̅− 2)6.

2 1

2.Представьте число

= (√3 − 2)

втригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 + ,

2 = 12 − 12.

Вычислите ( 1/ 2)6.

4.Найдите комплексные корни

уравнения

2 + (3 − 1) − 2 − = 0.

Вариант 13

1. Пусть

1 = 1 − 2 , 2 = −2 + 3 .

̅̅̅ ( − )2

Вычислите 1 ; ( 1 2)4 .

2 2 1+ 2

2.Представьте число √12 −2 в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 + ,

2 = − 8 − 8.

Вычислите ( 1 2/2)24.

4.Найдите комплексные корни уравнения: 2 − + 4 − 2 = 0.

Вариант 15

1. Пусть 1 = −3 , 2 = 4 + .

Вычислите ̅̅̅1 ; (34 ∙ 1̅̅̅− 2)6.

2 1

2. Представьте число

4.Вычислите в тригонометрической форме квадратные корни из комплексного числа (1 − √3).

Вариант 12

1. Пусть 1 = 4 + 3 , 2 = − .

	̅̅̅			+̅̅̅	12
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	4̅̅̅		) .
			4̅̅̅
	2			2

2. Представьте число = −7 − 7 в тригонометрической форме.

3. Пусть 1 = −1 − √3,2 = 8 + 8.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)12.

4.Найдите комплексные корни

уравнения

2 + (−1 + 4 ) − 3 − = 0.

Вариант 14

1. Пусть 1 = 1 + 2 , 2 = −3 .

̅̅̅̅̅ 2				̅̅̅−	3
	5
Вычислите (	2	)	; (	1 2	) .
				2 2
	3 1

2. Представьте число

= (√2 − √3)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −1 + √3,

2 = − 8 + 8.

Вычислите ( 1/2 2)12.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплекс-

ного числа (−1 − √3).

	Вариант 16
1.	Пусть 1 = −4 + 3 , 2 = .
		̅̅̅				−̅̅̅ 12
	Вычислите	1	;	(	1	2	) .

					4̅̅̅
	2					2
2.	Представьте число = −

= − 5 − 5

втригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 − ,

2 = 12 − 12.

Вычислите ( 1/ 2)6.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа −1 − .

Вариант 17

1. Пусть 1 = 3 + 4 , 2 = .

			̅̅̅+	14
Вычислите	1	; (	1 2	) .
Вычислите	̅̅̅	; (	3	) .
	̅̅̅		3
	2	2

2. Представьте число

= −

5 5

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −1 + √3,

2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)12.

4.Решите уравнение

|2 | = (4 ̅+ 1).

Вариант 19

1. Пусть 1 = 3 + , 2 = −2 .

+̅̅̅ 8

Вычислите ̅̅̅2 ; ( 13̅̅̅2) .

1 2

2. Представьте число

= (√2 − √3)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 + ,

2 = cos 4 + sin 4. Вычислите ( 1 ∙ 2/2)12.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (1 + ).

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 − √3,

2 = 8 − 8.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)12.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплексного числа (−1 + √3).

Вариант 18

1. Пусть 1 = 4 , 2 = − 3.

Вычислите 1 ; (4 ∙ 1− 2)6.

2 3 1

2. Представьте число

= (1 − √3)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 + ,

2 = 8 + 8.

Вычислите (2 2/ 1)16.

4.Решите уравнение

|2 | = 1 + 4 ̅.

Вариант 20

1. Пусть 1 = −4 + 3 , 2 = − .

	̅̅̅+1			+̅̅̅	12
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	4̅̅̅		) .
			4̅̅̅
	2			2

2. Представьте число

= −2√2 − 2√2

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −1 − √3,2 = 8 − 8.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)16.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (−1 + ).

Вариант 21

1. Пусть 1 = 1 − , 2 = 1 + .

	3			+	10
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	̅̅̅		) .
			̅̅̅
	2			1

2.Представьте число

= −√27 − 3

втригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 − ,

2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1 2/2)14..

4.Найдите комплексные корни

уравнения

2 + (−2 + 5 ) − 6 − 4 = 0.

Вариант 23

1. Пусть 1 = −3 , 2 = 4 − .

	̅̅̅		3			−	3
Вычислите	1	; (		∙	1	2	) .
Вычислите	2	; (	2	∙	̅̅̅		) .
	2		2		̅̅̅
	2					1

2. Представьте число

= −

12 12

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = √3 − ,

2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1 2/2)14.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (√3 − ).

Вариант 25

1. Пусть 1 = 4 + 3 , 2 = − .

	z	2		z	+z̅̅̅	14
Вычислите		2	; (	1	2	) .
Вычислите	z̅̅̅		; (	4z̅̅̅		) .
	z̅̅̅			4z̅̅̅
		1			2

2. Представьте число

= sin 12π + cos 12π

в тригонометрической форме. 3. Пусть z1 = 1 + √3,

2 = cos 12π − isin 12π .

Вариант 22

1. Пусть 1 = 1 − 5 , 2 = 3 − .

	̅̅̅			+	3
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	̅̅̅		) .
			̅̅̅
	2			1

2. Представьте число

= (√3 − √5)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 + ,

2 = 12 + 12.

Вычислите (2 2/ 1)15.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа ( + √3).

Вариант 24

1. Пусть 1 = 2 + 3 , 2 = .

	̅̅̅			+̅̅̅	10
Вычислите	1	;	(	1 2	) .
Вычислите		;	(	2̅̅̅	) .
				2̅̅̅
	2		2

2. Представьте число

= − −

10 10

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 + √3,

2 = 12 + 12.

Вычислите ( 1 2/2)14.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (−√3 + ).

Вариант 26

1. Пусть 1 = 1 + 2 , 2 = −3 .

	̅̅̅̅̅			3			̅̅̅−	6
	3
Вычислите		1	; (		∙		1 2	) .
							2
		2		2
2. Представьте число
= −		+
						10
10

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 + √3,

2 = 12 − 12.

Вычислите (z1 ∙ z2/2)16.

4.Найдите комплексные корни

уравнения

2 + (1 + 4 ) − 4 + 2 = 0.

Вариант 27

1. Пусть 1 = 2 − , 2 = 3 + .

	̅̅̅			+	4
Вычислите	1	; (	1	2	) .
Вычислите		; (	̅̅̅		) .
			̅̅̅
	2			1

2. Представьте число

= +

8 8

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = + √3,

2 = − 8 + 8.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)8.

4.Вычислите в тригонометрической и алгебраической форме квадратные корни из комплексного числа (2 + 2 √3).

Вариант 29
1. Пусть 1 =	4 + 3 , 2			= − .
	̅̅̅̅̅		+̅̅̅			3
	3		+̅̅̅
Вычислите	2	; (	1	2	) .
Вычислите	2	; (	4̅̅̅		) .
	2		4̅̅̅
	1	2

2. Представьте число

= − +

5 5

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 + √3,

2 = − 12 + 12.

Вычислите ( 1 2/2)16.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (−√3 − ).

Вычислите ( 1/2 2)14.

4.Найдите комплексные корни

уравнения

2 + (1 − 5 ) − 6 − 2 = 0.

Вариант 28

1. Пусть 1 = 1 − 5 , 2 = 3 − .

	̅̅̅̅̅	5
Вычислите	2 1	; (	1+ 2	) .

			̅̅̅
	2	1

2. Представьте число

= (√3 − √7)

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = −√3 − ,

2 = 12 + 12.

Вычислите (2 2/ 1)15.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (2 + 2√3).

Вариант 30

1. Пусть 1 = 5 + 3 , 2 = −4 − .

	3̅̅̅			+̅̅̅	50
Вычислите	2	; (	1	2	) .
Вычислите	2	; (	̅̅̅		) .
	2		̅̅̅
	1			2

2. Представьте число

= +

15 15

в тригонометрической форме.

3.Пусть 1 = 1 − √3,

2 = − 12 + 12.

Вычислите ( 1 ∙ 2/2)15.

4.Вычислите в тригонометрической форме кубические корни из комплексного числа (−1 − √3).

Глава 4. Решение уравнений третьей и четвертой степени

Решение кубических уравнений

Рассмотрим сначала неполное (или трехчленное) уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: y3 py q 0 , где p, q .

Случай 1. p 0 . Тогда уравнение примет вид y3 q 0 . Для того чтобы решить это уравнение нужно найти все кубические корни из комплексного числаq . Этот вопрос уже рассмотрен в теме «Извлечение корней из комплексного числа». Напомним, что в этом случае, найдя одно значение u кубического корня, другие два корня можно записать в виде u и u 2 u , где есть кубиче-

ский корень из 1 вида cos 23 i sin 23 12 i 23 .

Случай 2. q 0. Уравнение примет вид y3 py 0 и сводится к решению квадратного уравнения y2 p 0 .

Случай 3. p 0,q 0 . Покажем, что в этом случае любое решение уравнения y3 py q 0 можно представить в виде y z 3pz .

Действительно, рассмотрим уравнение 3z2 3yz p 0 . Это уравнение является квадратным относительно переменной и имеет (комплексное) решение при любом значении переменной y . Поскольку мы рассматриваем случай p 0 , то z 0 . Если z – решение этого квадратного уравнения, то y можно выразить через переменную z :

3z2 3yz p 0 3z2 p 3yz y z 3pz .

Таким образом, достаточно уметь находить z . Для этого подставим y z					p	в
					3z	в
					3z
уравнение y3 py q 0 и получим
	p 3		p
z		p z		q 0 .
z		p z		q 0 .
	3z		3z

Раскроем скобки: z3 zp

q 0 .

Приведя подобные сла-

27z3

гаемые, получим

q 0 .

27z

После умножения на z3 , приходим к уравнению z6 qz

0. Это уравне-

ние является квадратным относительно z3 .

Напомним, что корни приведенного квадратного уравнения t2 t 0

можно записать в виде

2 4

Поэтому корни квадратного уравнения t2 qt

0 , получающегося после

подстановки t z3

в уравнение z6 qz3

0 , можно записать в виде

1,2

Извлечем кубические корни из числа t

и запишем их в виде

u, u ,

u 2 , где

. Тогда корни исходного уравнения, вычисленные

по формуле

y z

, запишутся в виде

y u

, y

, y u

3u 2

Имеется еще второй корень квадратного уравнения: t

, три ку-

бических корня u , u ,

u 2

из числа t

и три соответствующих корня для ис-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.20192.95 Mб26209371_7777D_yasyukova_lyudmila_apollonovna_psi...doc
#
17.11.2019441.34 Кб20209_-_208_208_188_209_-_208_208.doc
#
24.04.201966.05 Кб421 - 25.doc
#
23.09.201940.55 Кб1323 билет (4).docx
#
06.06.2015218.62 Кб1423-24.doc
#
28.03.20161.61 Mб12623.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1.pdf
#
06.06.201559.9 Кб2424.01.doc
#
06.06.201586.53 Кб525 билетов.doc
#
23.09.201923.82 Кб825-28.docx
#
27.08.2019181.76 Кб5258540_ED361_samohina_t_s_dianova_e_m_upgrade_y...doc
#
04.08.201949.36 Кб1326-29.docx