Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский педагогический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Пример 1. Найдем тригонометрическую форму числа −1 + = (−1; 1). Изоб-

разим на комплексной плоскости точку (−1; 1), радиус-вектор которой образу-

ет угол 135° или 3 с положительным направлением оси (сделайте чертеж и

убедитесь в этом!). Расстояние от этой точки до начала координат вычисляем по теореме Пифагора, оно равно √2. Поэтому

−1 + = √2 (cos 34 + sin 34 ).

Пример 2. Найдем тригонометрическую форму числа 3 + 4 :

|3 + 4 | = √32 + 42 = 5. Поэтому

3 + 4 = 5 (35 + 45 ) = 5 (cos ( 45) + sin ( 45)).

Пример 3. Найдем тригонометрическую форму числа − .

Ясно, что ≠ 2 + . Поскольку | − | = √ 2 +1 = |cos1 |, то нужно рассмотреть два случая.

1.Если cos > 0 (− 2 ; 2), то − = cos1 (sin − cos ). Нужно теперь записать число sin − cos , находящееся на единичной окруж-

ности, в тригонометрической форме (точка 7):

sin − cos = cos (32 + ) + (32 + ). Получаем

− = cos1 (cos (32 + ) + (32 + )) или− = |cos1 | (cos ( − 2) + ( − 2)).

2. Если cos < 0 (2 ; 32 ), то − = − cos1 (− sin + cos ).

Нужно теперь записать число − sin + cos , находящееся на единичной окружности, в тригонометрической форме (точка 3):

−sin + cos = cos (

+ ) + (

+ ).

Получаем − =

(cos (

+ ) + (

+ )).

|cos

Окончательно имеем:

∙ (cos (

−

) + ( −

)) , если cos > 0

|cos |

− = [

∙ (cos (

+ ) + (

+ )) , если cos < 0

|cos |

Формулы для вычисления arg

Если = + , ≠ 0 и arg [0; 2 ), то

если z I четв.

arctg

, если z II четв.

arg z

arctg

, если z III четв.

2 arctg

, если z IV четв.

Применение комплексных чисел в геометрии

Геометрическое применение комплексных чисел связано с тем, что комплекс-

ному числу соответствует как точка на плоскости, так и радиус-вектор этой точки. В частности, скалярное произведение векторов на плоскости можно за-

писать с помощью операций с комплексными числами. Точнее, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Если 1 = (1, 1)		и 2 = (2, 2) – комплексные числа, то

1̅2 + ̅1 2 есть удвоенное скалярное произведение векторов 1			и 2, то есть

1̅2 + ̅1 2 = 2 1	∙ 2.

Доказательство. Поскольку 1 = (1, 1) и 2 = (2, 2), то

1 ∙ 2 = 1 2 + 1 2.

С другой стороны,

1̅2 + ̅1 2 = (1 + 1)(2 − 2) +

+(1 − 1)(2 + 2) = 21 2 + 21 2.

Утверждение доказано.

Следствие. Если 1 = 2 = , то равенство 1̅2 + ̅1 2 = 2 1 ∙ 2 принимает вид 2 ∙ ̅= 2 ∙ или, по-другому, 2 ∙ ̅= 2| |2, то есть∙ ̅= | |2.

Задача. Пусть около треугольника описана окружность радиуса с цен-

тром в точке , точка симметрична точке относительно прямой . Доказать равенство: 2 = 2 + 2 + 2 − 2 (рис. 5).

Рис. 5

Доказательство. Примем точку за начало координат. Точке соответствует комплексное число , то есть = . Точке соответствует комплексное чис-

ло , точке соответствует комплексное число , точке соответствует ком-

плексное число .

По следствию, приведенному выше, ∙ ̅ = ∙ ̅ = ∙ ̅= 2. Здесь ̅ есть число, комплексно сопряженное с числом . Поскольку точка симметрична точке относительно прямой , то – ромб и


= + = + ( + ) = + + = − + + ,
					как обычно,		\|− + \| – модуль комплексного
= + = − + . Если,					как обычно,		\|− + \| – модуль комплексного
числа (− + ), то
	2	= \|− + \|	2	̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅			̅
		= \|− + \|		= (− + ) ∙ (− + )		= (− + ) ∙ (−̅ + ).

Аналогично

= + = − + 2 = (− + ) ∙ (−̅ + ̅),

= + = − + 2 = (− + ) ∙ (−̅ + ̅).

Преобразуем левую часть доказываемого равенства

2 = 2 + 2 + 2 − 2.

	2	̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
		= (− + + ) ∙ (− + + ) =

=(− + + ) ∙ (− ̅+ ̅ + ̅) =

=(− + ) ∙ (− ̅+ ̅) + ∙ ̅ + (− + ) ∙ ̅ + (− ̅+ ̅) ∙ .

Преобразуем правую часть доказываемого равенства.

2 + 2 + 2 − 2 =

=2 + (− + ) ∙ (−̅ + ̅)+ (− + ) ∙ (−̅ + ̅)− (− + ) ∙ (−̅ + ̅) =

=+ (− + ) ∙ (−̅ + ̅)+ ∙ ̅ − ∙ ̅ − ∙ ̅+ ∙ ̅ − ∙ ̅ − ∙ ̅ +

= = =

+ ∙ ̅ + ∙ ̅.

Поскольку 2 + ∙ ̅− ∙ ̅ − ∙ ̅ = 0, имеем

2 + 2 + 2 − 2 = (− + ) ∙ (−̅ + ̅)+ ∙ ̅ − ∙ ̅ − ∙ ̅+ ∙ ̅ + ∙ ̅ =

= (− + ) ∙ (− ̅+ ̅) + ∙ ̅ + (− + ) ∙ ̅ + (− ̅+ ̅) ∙ .

Сравнивая выражения, полученные для правой и левой частей равенства, ви-

дим, что они равны.

Умножение и деление комплексных чисел в

тригонометрической форме

Используя формулы

cos( 1 2 ) cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 , sin( 1 2 ) cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 ,

выведем формулу для умножения комплексных чисел в тригонометрической


форме:		z1z2 r1r2 cos 1				2 i sin 1			2		. Действительно,

z1z2 r1 cos 1			i sin 1 r2 cos 2 i sin 2

r r	cos cos			2	sin	sin	2	i cos sin		2	sin cos	2
1 2		1		2	1		2		1	2	1	2
			cos 1 2						sin 1 2
			cos 1 2						sin 1 2
r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 .

По замечанию, приведенному относительно тригонометрической формы ком-

плексного числа, видим, что r1r2 cos 1 2 isin 1 2 есть тригономет-

рическая форма числа z1z2 . Получаем следующий вывод: при умножении

комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складывают-

ся. В частности, отсюда немедленно следует, что z1z2 z1 z2 .

Ясно, что z 1 r 1 cos i sin , поскольку нетрудно видеть, что

z z 1 rr 1(cos( ) i sin( )) 1. Поэтому

z1		z1	z2 1	r1	cos 1 2 i sin 1 2	.
z	2			r

			2

Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычи-

таются. В частности, отсюда немедленно следует, что

Геометрическая интерпретация: если модуль второго сомножителя равен 1,

то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа.

Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргум аргумент» исполь-

зуются термины «амплитуда» и «фаза».

Возведение в натуральную степень. Формула Муавра

Пусть z r cos isin , а n – натуральное число. Тогда

z2 r cos isin r cos isin r2 cos 2 isin 2 и индукцией по n

можно доказать, что справедлива формула zn r cos i sin n rn cos n i sin n .

Последняя формула, содержащая правило для возведения в натуральную сте-

пень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме,

называется формулой Муавра. Она была найдена А. Муавром в 1707 году; со-

временная ее запись предложена Л. Эйлером в 1748 году.

Согласно формуле Муавра, при возведении в степень комплексного числа мо-

дуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степе-

ни.

Вычисление корней в тригонометрической форме

Пусть дано комплексное число z r cos isin и натуральное число n .

Комплексное число , для которого справедливо равенство n z , называется корнем степени n из числа z . Мы покажем, что такие числа существуют.

Запишем число в тригонометрической форме: r1 cos isin . Тогда

n r1n cos n isin n и r1n cosn i sin n r(cos i sin ). Равенство чи-

сел, записанных в тригонометрической форме, означает, что модули чисел рав-

ны, а аргументы отличаются на 2 k, k								, то есть имеют место равенства
			r n
	n	r	r n		r
r1		r	1	2 k				.
	n 2 k, k			2 k				.
	n 2 k, k						, k
						n
						n

Таким образом, любой корень имеет вид

k	n		2 k	i sin	2 k	, k .

		r cos	n		n

На первый взгляд, таких корней бесконечно много, поскольку k . Мы пока-

жем, что различных корней всего n . Проверим сначала, что различными кор-

нями являются комплексные числа

k	n		2 k	i sin	2 k	, k 0, 1, ..., n 1.

		r cos	n		n

Действительно, пусть два корня

2 s

i sin

2 s

и t

2 t

i sin

2 t

r cos

таковы, что s t , причем 0 t s n . Равенство s t

означало бы, что аргу-

менты этих чисел отличаются на 2 k, k

. Но 2 s

2 t

s t

. Яс-

но, что 0 s t n 0

s t

1. Поэтому

2 s 2 t не есть целое

кратное 2 и рассматриваемые корни s и t различны.

Покажем теперь, что формула

2 k

i sin

2 k

r cos

, k 0, 1, ..., n 1 перечисляет все корни

степени n из числа z r cos isin . Для этого проверим, что если l

, то

l 0 , 1, ....,

n 1 . Для этого разделим целое число l на число n

с остатком и получим l nq p , где

p 0,

..., n 1 .

Тогда l

2 l

i sin

2 l

r cos

2 nq p

r cos

i sin

2 p

r cos

2 q

i sin

2 q

2 p

i sin

2 p

r cos

p .

Значит, l

p 0 , 1, ....,

n 1 .

Вывод: существует ровно n различных корней степени n из числа

z r cos isin

. Они задаются формулами

2 k

i sin

2 k

, k 0, 1,

..., n 1

r cos

Корни из единицы. Кубические корни из произвольного числа

Корни степени n из единицы можно записать более компактно. Эти корни при-

нято обозначать i , а не символами i , как мы это делали при извлечении кор-

ней из произвольного комплексного числа z r cos isin . Нетрудно ви-

деть, что если

z 1,

то 0 и корни

степени

n из единицы запишутся

в виде

0 2 k

1 cos

i sin

, k 0, 1, ..., n 1 или

2 k

i sin

2 k

, k 0, 1,

..., n 1

cos

Кроме того,

2 2

cos

i sin

cos

i sin

cos

i sin

1 .

Аналогично можно записать

k .

Заметим, что корни из произвольного числа z r cos isin можно также

записать в виде 1	n		2	i sin	2

		r cos
			n		n

	n				i sin									2	i sin			2		0		1		или окончательно 1 0 1 .
	n													2				2
		r cos									cos
		r cos									cos
				n				n						n					n
				0											1
Аналогично 2								n					2 2				i sin				2 2
								n	r				2 2								2 2
									r	cos
															n							n
	n		2									2							2				2				2
	n		2									2							2				2				2
		r cos					i sin									cos				i sin					1		1 0 1		или оконча-
		r cos			n		i sin						n			cos			n	i sin			n		1		1 0 1		или оконча-
					n								n						n				n
					1															1

тельно 2							. В общем случае получаем																		k			.
		2			0	1																	k			0	1

Для корней степени 3 из числа 1 формулы примут вид:

0 1;

		2				2
	cos				i sin				1		i	3		;
1
	3			3				2				2

			4				4
										1			3
2	cos				i sin						i				2		1	.

	3			3				2				2				1

Для корней третьей степени из произвольного числа z r cos isin имеем


	3							1		3			1		3
	3							1		3			1		3
0		r cos		i sin		, 1	0		i		, 2	0		i		.
0		r cos		i sin		, 1	0		i		, 2	0		i		.
			3		3			2		2			2		2

Эти формулы мы будем использовать при решении кубических уравнений.

Геометрическое изображение корней

Формулы k

для корней степени n из числа z r cos i sin показывают,

что все они имеют одинаковый модуль n r , причем соседние корни

k 1

2 k 2

i sin

2 k 2

r cos

отличаются на угол

то есть точки 0 , 1, ..., n 1 образуют правильный n - угольник и расположе-

ны на окружности радиуса nr с центром в начале координат.

Изобразим, например, геометрически расположение корней степени 5 из еди-

ницы.

В нашем примере z 1 1 cos0 isin 0 . Тогда

0 360 k

i sin

0 360 k

, k 0, 1, 2, 3, 4

cos

. При этом

1 cos0 isin cos0 ,

cos

360 1

i sin

360 1

cos72 isin 72

изображается точкой cos72 ,sin 72 на координатной плоскости. Получаем

следующую картину:

72°	0
	0

	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.20192.95 Mб26209371_7777D_yasyukova_lyudmila_apollonovna_psi...doc
#
17.11.2019441.34 Кб20209_-_208_208_188_209_-_208_208.doc
#
24.04.201966.05 Кб421 - 25.doc
#
23.09.201940.55 Кб1323 билет (4).docx
#
06.06.2015218.62 Кб1423-24.doc
#
28.03.20161.61 Mб12623.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1.pdf
#
06.06.201559.9 Кб2424.01.doc
#
06.06.201586.53 Кб525 билетов.doc
#
23.09.201923.82 Кб825-28.docx
#
27.08.2019181.76 Кб5258540_ED361_samohina_t_s_dianova_e_m_upgrade_y...doc
#
04.08.201949.36 Кб1326-29.docx