23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1

Очевидно, что чисел бесконечно много, поскольку если = 2 + 1, то по-

дойдет число = 5(2 +1)+1 = 5 + 3, тогда = 30 + 21. В этих случаях число

2

имеет остаток 21.

Применим теперь рассуждение, приведенное в предыдущей задаче:

4 = 60 + 24, а 5 = 30 + 15 = 30( − 2 − 1) + 30 − 9.

=21

Тем самым остаток равен 21, что уже и установлено нами.

Замечание. Решение для задачи 6 стало бы абсолютно верным, если бы мы рассуждали так: если число, о котором идет речь в условии задачи, существует,

то оно дает остаток 11. Но ни одного такого числа не существует. Поэтому не-

правильно говорить, что оно дает остаток 11.

Задача 8. Покажите, что если , > 1, то сумма = 12 + 13 + + 1 не мо-

жет быть целым числом.

Решение. Умножим сумму = 12 + 13 + + 1 на произведение всех нечетных знаменателей, встречающихся в сумме .

Произведение ∙ (12 + 13 + + 1) есть сумма

целых слагаемых, в которые превратятся слагаемые суммы с нечетными знаменателями, и

дробей вида 2 c нечетными числителями .

При этом 2 < при всех значениях . Ясно, что 2 ≤ < 2 +1 для некоторого

. Умножив произведение ∙ на 2 −1, получим сумму целых чисел и

числа 2−1 = ( – нечетное число), не являющегося целым числом. Отсю-

2 2

да видно, что число 2 −1 не является целым, поэтому число также не мо-

жет быть целым.

41

Упражнения

1.Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, одно из ко-

торых делится, а другое не делится на число ? Докажите сформулиро-

ванное вами утверждение.

2.Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, оба из ко-

торых не делятся на число ?

3.Докажите, что для любого натурального число 32 − 3 делится на 2 и не делится на 4.

Указание. Отсутствие делимости на 4 доказывается по индукции. Индук-

ционный переход: пусть 32 − 3 не делится на 4, тогда

32 +2 − 3 = 32 +2 − 3 ∙ 32 + 3 ∙ 32 − 3 = 9 ∙ (32 − 3) + 3 ∙ 32 − 3 .

24 4

Поскольку первое слагаемое в сумме по предположению индукции не делится на 4, а второе делится на 4, то 32 +2 − 3 также не делится на 4.

4.С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель чисел и ; выразите его в виде = + , где , , если

а) = 607, = 47, б) = 7194, = 6787.

5.Разложите число 50! на простые множители.

наименьшее общее кратное Н. О. К. ( , ) чисел и ? Вычислите произве-

дение Н. О. Д. ( , ) ∙ Н. О. К. ( , ).

7.Докажите, что для любого целого и любого целого положительного существует единственное целое число такое, что

≤ < ( + 1) .

42

8.Пусть числа и взаимно просты. Докажите, что взаимно просты числа а) и + , б) и − ,

в) + и 2 + .

9.Покажите, что если 2 + 1 – простое число, то = 2 .

10. Покажите, что если , , > 1 и + 1 – простое число, то

= 2 .

11.Покажите, что среди чисел вида 6 + 5, имеется бесконечное множество простых чисел.

12.Покажите, что для любого натурального числа найдется такое нату-

ральное число , что числа , + 1, … , + – составные.

Указание. Для ≠ 1 рассмотрите число = !3. Приведите пример для числа , если = 1.

13.Найдите остаток от деления: а) числа 22008 на 3, б) числа 492007 на 5,

в) числа 1412 + 1214 на 13,

г) числа 22225555 + 55552222 на 7.

14.Верно ли равенство 3100 + 7100 = 8100?

43

Индивидуальные задания

Задание 1 .

Докажите методом математической индукции, что если , то

1. 145 ∙ 122 − 12 ∙ 11 133. 2. 116 −3 + 1 148.

3. 41 ∙ 62 −1 − 1 35.

18. 7 +2 + 82 +1 57.

4. 7 ∙ 52 −1 + 23 +1 17.

19. 4 5 + 5.

5. 152 − 108 117.

20. 22 +1 + 1 3.

6. 22 + 6 + 8 9.

21. 8 ∙ 64 + 7 +2 57.

7. 10 + 45 − 1 27.

22. 3 + 5 3.

8. 32 +2 − 8 − 9 64.

23. 5 ∙ 23 −2 + 33 −1 19.

9. 10 ∙ 3 + 36 11.

24. 2 3 + 3 2 + 7 6.

10. 10 +1 − 9 − 10 81.

25. 10 + 18 − 28 27.

11. 2 +2 ∙ 3 + 5 − 4 25.

26. 4 + 15 − 1 9.

12. 52 +1 + 2 +4 + 2 +1 23.

27. 2 5 + 3 5.

13. 4 + 5 3.

28. 3 + 11 6.

14. 2 +5 ∙ 34 + 53 +1 37.

29. 72 − 42 33.

15. 3 + ( + 1)3 + ( + 2)3 9.

30. 22 − 1 3.

16. 4 3 − 3.

31. 52 − 32 16.

17. 116 +3 + 1 37.

Задание 2 . С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий де-

литель чисел и . Вычислите целые числа , для уравнения

+ = Н. О. Д. ( , ), если

44

Задание 3 .

Найдя разложение чисел и на простые множители, вычислите их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, если

45

16.= 21798 , = 3105

Задание 4 .

Найдите каноническое разложение числа на простые множители.

16.= 33!

46

Глава 3. Комплексные числа

Понятие комплексного числа

Уравнение 2 + 1 = 0, как мы знаем, не имеет решения, если – действитель-

ное число.

Попробуем расширить множество действительных чисел так, чтобы уравнение

2 + 1 = 0 имело решение. Мы знаем, что действительные числа можно рас-

сматривать как множество точек числовой прямой. На этой прямой должны быть выбраны

начало отсчета (начало координат),

отрезок единичной длины (масштаб),

положительное направление отсчета.

Добавим к этой прямой вторую ось, проходящую через уже выбранное начало координат с тем же масштабом и перпендикулярную первой прямой. Будем отождествлять точки плоскости с парами действительных чисел , , координа-

тами точки плоскости в выбранной нами системе координат

(рис. 1), и называть точки получившейся плоскости комплексными числами.

Итак, комплексное число – это точка с координатами ( , ), , . Множе-

ство всех комплексных чисел будем обозначать символом (от лат. complex).

Действительным числам соответствуют теперь точки вида ( , 0), .

( , )

Рис. 1

47

Нужно теперь научиться складывать и умножать новые числа. Желательно при этом, чтобы действительные числа, являющиеся частью множества новых чи-

сел, складывались и умножались так же, как и раньше.

Сложение и умножение определим так:

( , ) + ( , ) = ( + , + ), ( , ) ∙ ( , ) = ( − , + ).

Например, (0,1) ∙ (0,1) = (−1,0).

Заметим, что действительные числа складываются и умножаются так:

( , 0) + ( , 0) = ( + , 0), ( , 0) ∙ ( , 0) = ( , 0). Кроме того, уравнение

2 + 1 = 0, которое теперь следовало бы записать в виде 2 + (1,0) = (0,0), имеет решение. А именно, если = (0,1), то 2 = (0,1) ∙ (0,1) = (−1,0), и по-

этому, как нетрудно видеть, = (0,1) является решением этого уравнения.

Убедимся, что новые операции обладают свойствами, к которым мы привыкли при обращении с действительными числами:

1.+ (0,0) = для любого комплексного числа , то есть число (0,0) игра-

ет такую же роль, как число ноль для действительных чисел.

2.Операция сложения коммутативна, то есть при сложении неважно, какое слагаемое записано первым, а какое вторым, результат будет один и тот же: 1 + 2 = 2 + 1.

3.Операция сложения ассоциативна, то есть при сложении трех слагаемых неважно, какое из сложений выполнять сначала (неважен порядок выпол-

нения двух сложений):

( 1 + 2) + 3 = 1 + ( 2 + 3).

4.Операция умножения коммутативна: 1 ∙ 2 = 2 ∙ 1.

5.Операция умножения ассоциативна: ( 1 ∙ 2) ∙ 3 = 1 ∙ ( 2 ∙ 3).

6.Справедлив закон дистрибутивности: ( 1 + 2) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + 2 ∙ 3.

48

Проверим, например, свойство 6. Пусть 1 = ( , ), 2 = ( , ), 3 = ( , ). Тогда 1 + 2 = ( + , + ), и левая часть равенства 6 примет вид:

( 1 + 2) ∙ 3 = ( + , + ) ∙ ( , ) = = (( + ) − ( + ) , ( + ) + ( + ) ) =

= ( + − − , + + + ).

Для правой части равенства 6 имеем:

1 ∙ 3 + 2 ∙ 3 = ( , ) ∙ ( , ) + ( , ) ∙ ( , ) =

=( − , + ) + ( − , + ) =

=( + − − , + + + ).

Очевидно, что число, полученное в результате вычисления левой части равен-

ства, совпадает с числом, полученным в результате вычисления правой части, и

свойство 6 доказано.

Перечисленные свойства позволяют, например, пользоваться формулой сокращенного умножения: ( 1 + 2) ∙ ( 1 − 2) = 12 − 22.

Задача. Вычислив левую часть равенства, докажите справедливость равенства.

Замечание. Если операция умножения не коммутативна, как это бывает,

например, при умножении матриц, то указанная формула умножения может быть записана только в виде

( 1 + 2) ∙ ( 1 − 2) = 12 − 1 2 + 2 1 − 22.

Переход к алгебраической форме записи комплексного числа

Для того чтобы привычнее было работать с комплексными числами, будем за-

писывать их в так называемой алгебраической форме. Для этого вычислим комплексное число вида ( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1).

49

Нетрудно видеть, что ( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1) = ( , 0) + (0, ) = ( , ). Таким об-

разом, любое комплексное число ( , ) можно записать в виде

( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1).

Поскольку числа ( , 0) и ( , 0) складываются и умножаются подобно действи-

тельным числам, мы можем записать их в виде и . Число (0,1) обозначим символом и будем называть мнимой (или комплексной) единицей. Мы прихо-

дим к более удобной записи произвольного комплексного числа:

( , ) = + . Это представление называется алгебраической записью ком-

плексного числа.

При сложении и умножении комплексных чисел в алгебраической форме мож-

но просто производить обычные вычисления с буквенными выражениями, учитывая, что 2 = −1. Кроме того, полезно знать, что 3 = − , 4 = 1.

Задача. Сформулируйте правило для вычисления степени .

Пусть = + — комплексное число, записанное в алгебраической форме,

где и — вещественные числа. Числа и называются соответственно веще-

ственной и мнимой (англ. real, imaginary) частями и обозначаются = Re и= Im .

Вещественные числа на комплексной плоскости занимают горизонтальную ось,

мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной

и мнимой осями.

Ясно, что равенство + = + имеет место тогда и только тогда, когда они задают одну и ту же точку на комплексной плоскости, то есть ( , ) = ( , ) или

50