23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1

= ( + ) = ( + ) { = { ( + ) = ( + ) .

Таким образом, два комплексных числа, записанных в алгебраической форме,

равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые ча-

сти. Этот факт часто используется при решении уравнений, содержащих ком-

плексные числа в алгебраической форме.

Пример. Решим уравнение (1 − ) − (6 − ) = −4 + .

Запишем число в алгебраической форме: = + . Тогда уравнение примет вид: (1 − )( + ) − (6 − ) = −4 + . Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим уравнение + − 6 + (− + + 1) = −4 + . Приравняв действительные и мнимые части чисел, стоящих в левой и правой части равен-

ства, получим систему уравнений

{ + − 6 = −4 . − + + 1 = 1

Сложив уравнения системы, получим 2 − 5 = −3, откуда = 1. Затем получаем =1, то есть = 1 + .

Существование и единственность комплексного

числа, обратного к данному

Пусть дано комплексное число = + , отличное от нуля, то есть

2 + 2 ≠ 0. Покажем, что существует единственное комплексное число 1,

такое что ∙ 1 = 1 . Число 1 называется обратным к числу и обозначается

−1. Действительно, пусть 1 = + . Тогда

∙ 1 = ( + ) ∙ ( + ) = − + ( + ) = 1.

Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действитель-

ные и мнимые части, то есть − = 1 и + = 0. Получаем систему

− = 1

уравнений { + = 0 .

51

Умножим первое уравнение системы на −, а второе — на число . Получим

Если мы умножим первое уравнение системы на , а второе — на число , то

2 − =

получим { 2 + = 0 . Сложим первое и второе уравнение и получим

(2 + 2) = , откуда = 2+ 2. Отсюда следует, что если обратное число существует, то оно определено однозначно. Проверка показывает, что найден-

ное нами число 2+ 2 − 2+ 2 является обратным для ненулевого числа + .

Итак, обратное комплексное число для числа, отличного от нуля, существует

Замечание. На практике для вычисления числа, обратного к данному ком-

плексному числу, пользуются умножением числителя и знаменателя на сопря-

женное комплексное число. При этом сопряженным числом к числу = +

называется число − . Оно обозначается символом ̅, то есть ̅= − .

Пример. Вычислим −1 для комплексного числа = 2 − 3:

Вычисление корней в алгебраической форме

Из комплексного числа можно извлекать квадратные, кубические и т.д. корни.

Задача. Вычислить корни четвертой степени из числа −7 − 24.

Способ 1. Для вычисления корней четвертой степени из числа −7 − 24 можно сначала извлечь квадратный корень, а затем еще раз извлечь квадратный ко-

рень.

52

Пусть , и ( + )2 = −7 − 24 . Тогда 2 + 2 − 2 = −7 − 24 . При-

равняв действительные и мнимые части чисел, стоящих в правой и левой частях

равенства, получим систему уравнений: { 2 − 2 = −7.

2 = −24

Решаем ее. Поскольку , ≠ 0 (это видно из второго уравнения системы), то

Ясно, что тогда = ±3 = 4 + = ±(3 − 4 ).

Затем извлекаем квадратный корень из числа 3 − 4 :

( + )2 = 3 − 4 2 + 2 − 2 = 3 − 4 .

Решаем систему уравнений { 2 − 2 = 3. 2 = −4

Поскольку , ≠ 0 (это видно из второго уравнения системы), то

53

Таким образом, 2 = 4 , = ±2 = 1, поэтому имеем корни

+ = ±(2 − ). Еще два корня получатся после извлечения корней из числа

−3 + 4 : √−3 + 4 = ±(1 + 2 ).

1 + 2

Ответ: √−7 − 24 = [−1 − 2 . −2 +

2 −

Замечание. При вычислении корней из числа − можно воспользоваться свойствами комплексного сопряжения. Справедливы следующие свойства:

Способ 2 (Мы приводим этот способ для того, чтобы научиться решать так

называемые симметричные (или возвратные) уравнения).

Замечание. Примером симметричного уравнения является уравнение вида

4 + 3 + 2 + + = 0, ≠ 0. Оно называется так потому, что коэффи-

циенты уравнения, расположенные симметрично относительно середины урав-

нения, равны. Например, крайние коэффициенты слева и справа равны. Ясно,

что = 0 не является корнем. Поэтому такое уравнение делят сначала на 2 и

получают уравнение 2 + + + + 2 = 0, а затем преобразуют его к виду

( 2 + 12) + ( + 1) + = 0. Затем делают замену + 1 = . Поскольку+ 1 = ( + 1)2 = 2 , то 2 + 12 = 2 − 2. Получают квадратное уравне-

54

ние ( 2 + 12) + ( + 1) + = 0, то есть уравнение

= 2−2

2 + + − 2 = 0. Решая его, находят корни 1 и 2, а затем находят переменную из равенств + 1 = 1 и + 1 = 2.

Уравнение 4 + 3 + 2 − + = 0, ≠ 0 решается похожим способом с той лишь разницей, что делают замену − 1 = . Поскольку − 1 = ( − 1)2 = 2 , то 2 + 12 = 2 + 2. Получают квадратное уравнение

( 2 + 12) + ( − 1) + = 0, то есть уравнение 2 + + + 2 = 0.

= 2+2

Второй способ извлечения корня четвертой степени из числа −7 − 24 состоит в том, что мы пытаемся сразу извлечь корень четвертой степени,

то есть ищем число + , для которого ( + )4 = −7 − 24 . Тогда

4 + 4 3 − 6 2 2 − 4 3 + 4 = −7 − 24 .

Приравняв действительные и мнимые части, получим систему уравнений:

{ 4 − 6 2 2 + 4 = −7. 4 3 − 4 3 = −24

Умножим первое уравнение системы на 24, а второе на −7 и сложим их. Полу-

чим уравнение 24 4 − 28 3 − 144 2 2 + 28 3 + 24 4 = 0. Разделим по-

следнее уравнение на 4 и перейдем к уравнению

6 4 − 7 3 − 36 2 2 + 7 3 + 6 4 = 0.

Разделим обе части последнего уравнения на 4 и положим = :

6 4 − 7 3 − 36 2 + 7 + 6 = 0. Разделим его на 2и перейдем к уравнению

6 2 − 7 − 36 + 7 + 62 = 0.

55

Такие уравнения решают с помощью подстановки − 1 = . Тогда

2 + 12 = ( − 1)2 + 2 = 2 + 2. Имеем

= −2.

Подставляя = 12 = 2 во второе уравнение системы, имеющее вид 4 3 − 4 3 = −24, получаем:

4 (2)3 ∙ − 4 ∙ 2 ∙ 3 = −24 24 − 2 4 = −24 − 324 = −24 4 = 16.

Последнее уравнение имеет два действительных решения = ±2. Тогда

= 2 = ±1. Тем самым получены два корня из числа −7 − 24 , равные 1 + 2 и −1 − 2 .

Для случая = −2 получаем = −2 , и тогда

4(−2 )3 − 4(−2 ) 3 = −24 −24 4 = −24. Разделив обе части равенства на −24, получим 4 = 1.

Имеем = ±1. Тогда = −2 = 2. Тем самым получены еще два корня из числа −7 − 24 , равные −2 + и 2 − .

56

В случаях = 3 и = − 13 действительных решений нет.

1 + 2

Тем самым получаем ответ: √−7 − 24 = [−1 − 2.

−2 + 2 −

Радиус-вектор комплексного числа.

Геометрическая интерпретация сложения

57

1

2

Рис. 3

Модуль и аргумент комплексного числа

Результат суммирования комплексных чисел, как мы видели, имеет простую геометрическую интерпретацию: сложению комплексных чисел соответствует сложение соответствующих им радиус-векторов.

Для того чтобы иметь геометрическую интерпретацию операции умножения комплексных чисел, удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат. В полярной системе координатами точки явля-

ются

расстояние до начала координат и

угол, отсчитываемый от положительного направления оси x до радиус-

вектора точки z (рис. 4) .

При этом положительные углы это углы, соответствующие движению против

часовой стрелки. На рис. 4 указан положительный угол.

| |

Рис. 4

58

Для того чтобы было легче находить тригонометрическую форму комплексного числа вида ±cos ± sin , рассмотрим следующий чертеж.

На единичной окружности, изображенной выше, нетрудно увидеть, что для точки с номером 1 имеем = cos , = sin . Для точек с номерами 1, 2, 3, 4

тогда можно записать:

1.+ = cos + ;

2.+ = sin + cos = cos (2 − ) + (2 − );

3.− + = −sin + cos = cos (2 + ) + (2 + );

4.− + = − cos + sin = cos( − ) + ( − ).

Задача. Дополните чертеж и докажите, что

5.− − = − cos − sin = cos( + ) + ( + );

6.− − = −sin − cos = cos (32 − ) + (32 − );

7.− = sin − cos = cos (32 + ) + (32 + );

8.− = cos − sin = cos(− ) + (− )

60