23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1

При условии, что A 0,C 0 , имеем A A 2 ,C C 2 , поэтому

Ax 2 Bx C Ax 2 2sign(B) AC x C Ax sign(B) C 2 .

В учебнике [1] приведена ошибочная формула Ax 2 Bx C Ax C 2 , ко-

торая очевидно приводит к неверному результату, например, в случае

A 1, B 2,C 1: x2 2x 1 x 1 2 .

Пример 1. Решим неполное уравнение четвертой степени x4 2x2 12x 8 0 .

Решение. Представим многочлен в левой части уравнения в виде разности квадратов:

x4 2x2 12x 8 x2 2 x 2

x 2 2x2 2 2x2 12x 8 x 2 2 2 x2 12x 8 2 .

Находим дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в правой части по-

следнего равенства, и приравниваем его к нулю: D 8 3 8 2 64 80 0

или 3 2 8 10 0 . Последнее уравнение имеет корень 1.

Поэтому 2 2 x2 12x 8 2 4x2 12x 9 2x 3 2 , то есть

x 2 2x 3 2 . Уравнение x2 2 x 2 0 примет теперь вид

x2 1 2 2x 3 2 0 x2 2x 2 x2 2x 4 0 .

Решив два квадратных уравнения, получим ответ.

Ответ: 1 3,1 3, 1 i3, 1 i3.

91

Пример 2. Решим уравнение x4 4x3 4x2 12x 21 0 .

Решение. Представим многочлен в левой части уравнения в виде разности квадратов x4 4x3 4x2 12x 21 x2 2x 2 x 2

x 2 2x2 4x 2 12x 21

x 2 2x2 4 12 x 21 2 .

Находим дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в правой части по-

следнего равенства и приравниваем его к нулю:

D 8 3 16 2 72 144 0 3 2 2 9 18 02 2 9 2 0.

Последнее уравнение имеет корень 2. Поэтому

2x2 4 12 x 21 2 4x2 20x 25 2x 5 2 , то есть

x 2 2x 5 2 . Уравнение x2 2x 2 x 2 0 примет вид

x2 2x 2 2 2x 5 2 0 x2 3 x2 4x 7 0 .

Решив два квадратных уравнения, получим ответ.

92

Задания для проведения контрольных работ

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а) x3 27x 54i 0 ;

б) x3 3x2 42x 196 0 ; в) x3 21x2 132x 260 0 .

2. Решите уравнение методом Феррари x4 4x3 5x2 2x 8 0 .

Вариант 2

1. Решите уравнения:

а) x3 48x 128i 0;

б) x3 6x2 12x 112 0 ; в) x3 24x2 162x 308 0 .

2. Решите уравнение методом Феррари x4 6x3 6x2 8 0 .

Вариант 3

1. Решите уравнения:

а) x3 108x 432i 0 ;

б) x3 21x2 138x 252 0 ; в) x3 78x 220 0.

2. Решите уравнение методом Феррари x4 2x3 4x2 2x 3 0 .

Вариант 4

1. Решите уравнения:

а) x3 75x 250i 0 ;

93

б) x3 12x2 66x 117 0 ; в) x3 78x 220 0.

2. Решите уравнение методом Феррари x4 4x3 2x2 4x 1 0 .

Вариант 5

1. Решите уравнения:

а) x3 12x 16i 0;

б) x3 6x2 27x 162 0 ; в) x3 24x2 177x 414 0 .

2. Решите уравнение методом Феррари x4 4x3 5x2 4x 1 0 .

Вариант 6

1. Решите уравнения:

а) x3 27x 54i 0 ;

б) x3 15x2 30x 52 0 ; в) x3 30x2 285x 846 0 .

2. Решите уравнение методом Феррари x4 14x3 52x2 30x 3 0 .

Вариант 7

1. Решите уравнения:

а) x3 48x 128i 0;

б) x3 6x2 12x 32 0; в) x3 78x 220 0 .

2. Используя метод Феррари, решите уравнение x4 6x3 25x2 96x 144 0 .

94

Вариант 8

1. Решите уравнения:

а) x3 108x 432i 0; б) x3 3x2 6x 20 0 ; в) x3 78x 220 0.

2. Решите уравнение методом Феррари x4 2x2 8x 5 0 .

Вариант 9

1. Решите уравнения:

а) x3 75x 250i 0 ;

б) x3 15x2 93x 196 0 ; в) x3 24x2 162x 308 0.

2. Решите уравнение методом Феррари x4 2x3 2x2 6x 5 0.

Вариант 10

1. Решите уравнения:

а) x3 12x 16i 0 ;

б) x3 6x2 27x 86 0 ;

в) x3 24x2 177x 396 0 .

2. Решите уравнение методом Феррари x4 2x3 4x2 6x 3 0.

95

Рекомендуемая литература

1.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

2.Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение, 1993.

3.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. СПб.:

Издательство «Лань», 2007.

4.Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.

5.Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. М.:

МЦНМО, 2004.

96