1.2. Анализ распределения крутящих моментов

Анализ распределения крутящих моментов M_K рассмотрим на примере бруса, изображенного на рис.1.5,а.

I. Составляем уравнение равновесия бруса (рис. 1.5,б)

∑ M_Z = 0;

и находим реактивный момент М_С в заделке С

M_C = 3m.

2. Выделяем участки бруса: 1 участок – AB, 0, 2 участок –BC,

3. Применяя метод сечений к каждому участку (рис. 1.5, в, г), находим внутренние крутящие моменты для 1 и 2 участков:

4. По полученным значениям внутренних моментов строим эпюру с учетом правила знаков для внутренних моментов (рис. 1.5, д).

1.3. Анализ внутренних силовых факторов при изгибе

При изгибе бруса (балки) в поперечных сечениях могут возникать два силовых фактора – поперечная сила Q и изгибающий момент M. Для их определения применяем метод сечений. Мысленно рассекая балку поперечной плоскостью, прикладываем в сечении поперечную силу и изгибающий момент, имеющие положительные направления в соответствии с принятым правилом знаков. Эти силовые факторы определим из уравнений равновесия частей балки.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 1.6, а), нагруженную сосредоточенной силой P.

Из уравнений равновесия балки определяем силы реакций в опорах и

(рис. 1.6, б):

, ; , .

Балка имеет два участка: 0и.

Применяя метод сечений, получаем:

на 1 участке

, ;

на 2 участке

, .

Эпюры ипоказаны на рис. 1.6, в. Поперечная сила в пределах каждого участка постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную сосредоточенным моментом m (рис. 1.7, а) (круговая стрелка на рис. 1.7 указывает направление вращения).

Составив уравнения равновесия балки, определяем силы реакций в опорах и(рис. 1.7, б):

, ; ,.

Рис. 1.6.

Рис. 1.7.

Рис 1.8.

Балка имеет два участка: 0и.

Применяя метод сечений на первом участке, получаем:

, ;

на 2 участке

, .

Эпюры ипоказаны на рис. 1.7, в. Поперечная сила постоянна по всей длине балки, а изгибающий момент изменяется по линейному закону в пределах каждого участка.

Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q (рис. 1.8, а).

Используя уравнение равновесия балки, определяем силы реакций в опорах и(1.8, б):.

Балка имеет один участок.

Применяя метод сечений, получаем:

, .

Эпюры ипоказаны на рис. 1.8, в. Поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы. В сечении, а изгибающий момент имеет максимальное значение.

1.4. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью поперечной распределенной нагрузки

В общем случае изгиба на балку могут действовать сосредоточенные силы и моменты, поперечная распределенная нагрузкапостоянной или переменной интенсивности.

Рассмотрим элемент балки длиной dz (рис. 1.9). Составим уравнения равновесия сил, действующих на выделенный элемент:

, ;

, .

Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим из первого уравнения:

,

а из второго уравнения

. (1.1) Рис. 1.9.

Зависимость (1.1) используют для нахождения положения экстремума на эпюре моментов. Согласно (1.1) изгибающий момент М достигает экстремума там, где Q равно нулю.

Анализируя эпюры, представленные на рис. 1.6-1.8, отметим следующее:

1. В точке приложения поперечной сосредоточенной силы на эпюре Q должен быть скачок на величину силы, а на эпюре M - излом, направленный навстречу силе.

2. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре должен быть скачок на величину момента.

3. На участке, где поперечная сила постоянна и положительна, эпюра M – прямая с положительным углом наклона; там, где , эпюраM – прямая с отрицательным углом наклона; в сечении, где , эпюра имеет экстремум.

4. На том участке, где действует распределенная нагрузка, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент M – по закону квадратной параболы.

Рассмотрим применение этих правил на примере.

Пример. Схема балки изображена на рис. 1.10, а. Используя уравнения равновесия, определяем силы реакций в опорах ,(рис. 1.10, б):,;,.

Разбиваем балку на три участка: 1 участок : 0; 2 участок; 3 участок.

Применяем метод сечений, определим внутренние силовые факторы на участках 1-3, рис. 1.10, в (индексы x и y в уравнениях опущены)

, ,;

, ,,;

, ,;

, ,;

при ,,;

, ,

, ,.

Рис. 1.10.

По полученным значениям строим эпюры и(рис. 1.10, г). В сеченияхА и С на эпюре имеются скачки на величину приложенных сил. На 2 участке, где приложена распределенная нагрузка,изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, причем в сечении, где, эпюраимеет экстремум. В сеченииD на эпюре имеет место скачок на величину сосредоточенного момента.