Толстых-Уравнматем-физики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f t cos t dt,

f t sin t dt.

.pdf

Скачиваний:

152

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

5.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

u(r, )

a0 lnR2 c0 lnR1 c0 a0 lnr

cosn b sinn

n 1

cosn d

sinn

(11.14)

an,bn,cn, dn см. (11.12).

Задача 11.1. Найти стационарное распределение температуры по однородной круглой пластине радиуса R, верхняя граница которой

поддерживается при температуре Т , а нижняя 0 .

Решение. Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению Лапласа (11.1) с граничными условиями

u						T,	0 ,
u	r R		f
						0,	0


и ищется с помощью интеграла Пуассона (11.9)
u r,		T				R2 r2
		T				R2 r2			dt.
		2			2	2Rrcos t r		2	dt.
		2		0 R		2Rrcos t r

а) 0 t

	t
tg		z,	dt
tg	2	z,	dt
	2
u r,			1 z2
cos t			1 z2
cos t				2
			1 z	2
			1 z

2dz

1 z

R r 2

R r 2 z2

arctg

R2 r2

2Rrsin

R2 r2

, 0 .

2Rrsin

Под знаком «arctg» стоит отрицательная величина (R > r, sin >0,

0< < ), то есть его значение меняется в пределах от до , и, значит,

		u	,
2		T	,
2		T
				T		u	T	,			0 .



	2
	2
б) 0 t
					t		z,				dt	2dz
			ctg
			ctg		2							1 z	2
					2							1 z
			u r,						z2		1
			cos t -						z2		1
			cos t -
									z	2	1
									z		1

ctg

R2 r2 dz

arctg

R r

2Rrsin

ctg

R r

(вычисления аналогичны).

Под знаком «arctg» справа стоит положительная величина (R > r,

sin < 0, – < <0), то есть его значение меняется от 0 до , и, значит,

, 0

2 r2

Итак, мы получили в обоих случаях tg

Иначе, в декартовых координатах,

2Rrsin

2Rytg

2Ry

Rtg

y Rtg

cos

2 u

то есть изотермами являются дуги окружностей с центром			0;	Rtg	u

					T
	R				T
радиуса	R	.
радиуса		.

cosu T

Можно найти решение этой задачи и с помощью ряда по формулам (11.7), (11.8). Предлагаем это как упражнение.

Задача 11.2. Найти стационарное распределение температуры по круглой однородной пластине радиуса R, если температура на ее границе:

а) u |R A,

б) u |R Ax,

в) u |R Axy,

A const.

Решение. Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению Лапласа (11.1), то есть представляет собой гармоническую функцию, и может быть найдено непосредственными вычислениями по формулам (11.7), (11.8). Решим задачу иначе.

а) u|R A. Гармоническая функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на границе области (см. п. 9.3), поэтому в круге устанавливается постоянная температура u(r, ) A.

б) u |R Ax ARcos , , .

Функция f ARcos непрерывная и четная, следовательно, разлагается в ряд Фурье по косинусам:

bn 0,		n 1,2,...
11.7	1				2			0,	n 1	,
11.7								0,	n 1	,
an		ARcos cosn d				ARcos cosn d
an		ARcos cosn d				ARcos cosn d			n 1;
						0		AR,	n 1;
		u(r, )	11.8	ARcos Ax,			0 r R,	.
		u(r, )		ARcos Ax,			0 r R,	.

Здесь использовали свойство ортогональности системы функций

sin nx, cos nx на [– ; ]:

	0,m n,		0,m n,
cosnx cosmxdx		sinnx sinmxdx
	,m n,		,m n,

sinnx cosmxdx 0.

					AR2
в) u	R	Axy AR2 sin cos				sin2 .


			AR2	2


	Функция f			sin2 непрерывная и нечетная, следовательно,
	Функция f			sin2 непрерывная и нечетная, следовательно,
		2

разлагается в ряд Фурье по синусам:

an 0, n 0,1,2,...

11.7	1	AR2			0,				n 2,
11.7	1	AR2
b				sin2 sinn d			2
b				sin2 sinn d			2
n		2				AR		,	n 2,
		2						,	n 2,
					2
u r,	11.8	AR	2	sin2 Axy,	0 r R,
		AR							.
		2							.
		2

Задача 11.3. Найти стационарное распределение температуры внутри кольца R1 r R2 при условиях

u	r R	0,	u	r R	Ax.
					2
1

Решение. Для отыскания стационарного температурного режима в кольце необходимо решить задачу (11.1), (11.10). В нашем случае

f 0, g x R2 cos AR2 cos .

Коэффициенты Фурье функции f 0: an 0, bn 0, n 0,1,2,...

Коэффициенты Фурье для функции g AR2 cos найдены в задаче 11.2,

б): сn 0,

n 1,

c1 AR2,

dn 0,

n 1,2,...

u r,

11.14 R

AR2

cos

cos .

Задача 11.4. Найти функцию, гармоническую внутри сектора

0 r R,

0 ,

если

u R f u0 , u 0 0, u u0.

Решение. Заметим, что функция, линейная относительно , является гармонической. В этом можно убедиться непосредственной

подстановкой в уравнение (11.1). Очевидно, функция u r, u0

удовлетворяет граничным условиям, следовательно, является решением поставленной задачи Дирихле для уравнения Лапласа

u r,	u0	или u x, y	u0	arctg	y	.


					x

В силу единственности решения задачи, других решений нет. Можно найти решение и методом Фурье аналогично п. 11.1. Предлагаем это как упражнение.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти

стационарное

распределение

температуры

внутри

круга

x2 y2

R2,

если

на

окружности температура распределяется по

закону u

2. Найти

u в

стационарный

температурный

режим

кольце

R2 x2

y2 R

если на

границе

температура

удовлетворяет

условиям:

а) u

0, u

б) u

А 0, u

Вy;

в) u

Ах, u

В 0.

3.Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R при условиях:

а) u R A By; б) u R Ax2 By2; в) u R Ay3.

Указание. Задачи решать в полярных координатах.

4.На поверхности бесконечного кругового однородного цилиндра радиуса R поддерживается постоянная температура

1о, 0 ,

u R 0о, 0.

Внутри цилиндра температура установилась. Найти стационарное распределение температуры внутри цилиндра в виде интеграла Пуассона.

12. Задача Дирихле для полуплоскости, полосы и прямоугольника

12.1. Задача Дирихле для полуплоскости. Интеграл Пуассона

В полуплоскости R2 x , y 0				требуется найти
ограниченное решение уравнения Лапласа
	2u	2u	0,	(12.1)
	x2	y2

удовлетворяющее условию
u x,0 f x , x , .				(12.2)

Функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть

f x dx сходится, тогда она может быть представлена интегралом

Фурье (см. п. 12.4).

Искомая функция u – ограниченная и кусочно-непрерывная. Можно показать, что решение такой задачи единственно в классе ограниченных функций.

Воспользуемся методом Фурье и будем искать решение в виде:

u x, y X x Y y .

Уравнение (12.1) для такой функции принимает вид:

X Y XY 0,

откуда

X Y .

X Y

Очевидно, эти отношения есть константа.

Предположим, что X 2, X Ae x Be x .

Эта функция не может удовлетворять граничному условию (12.2), следовательно,

		X
				2	X 2X 0	X ACos x BSin x,

		X
	Y		2 Y 2Y 0 Y Ce y De y( , y 0).

	Y
Так как искомая функция и x, y ,						а, значит, и Y y ограничена, то

D 0, иначе при	y решение неограниченно. При каждом значении
обозначим АС = ( ), ВС = ( ). Тогда функция
	и x,y Cos x Sin x e y	(12.3)

является одним из решений (12.1). Учитывая линейность уравнения, сумма такого вида функций, а также интеграл по параметру , есть решения (12.1), если законно дифференцирование под знаком интеграла:

		cos x sin x e yd ,
u x, y		cos x sin x e yd ,
	0	(12.4)
		(12.4)


u x,0 f (x) cos x sin x d ,
		0

то есть функция u x,0 представляет собой интеграл Фурье для функции f(x):

Подставив эти выражения в (12.4) и преобразовав, получим

	1		y
u x, y		e		f t cos t x dt d
u x, y		e		f t cos t x dt d
		0

		1
		1	f t	e y cos t x d		dt,
			f t	e y cos t x d		dt,

			0
			0
	e y cos t x d udv uv				vdu
J	e y cos t x d udv uv				vdu

u dv

e y sin t x

t x

e y cos (t x)

t x

t x 2

t x 2 J

t x

	y2		y	J		y	.
1		J
1	t x 2	J	t x 2		y2	t x 2
	t x 2		t x 2		y2	t x 2

Итак, решение задачи (12.1), (12.2) можно представить в виде интеграла Пуассона

	1
u x,y		f t
u x,y		f t

y
y2 t x 2 dt.	(12.5)

Интеграл Пуассона для полуплоскости в некотором смысле является обобщением интеграла Пуассона для круга. Это видно из схемы получения интеграла.

Задача 12.1. Дана однородная полуплоскость y 0, граница которой –

ось Ox – поддерживается при температуре 0o для х l и при температуре

To для x l T 0 . Найти стационарное распределение температуры и

изотермы.

Решение. Стационарное распределение температуры можно найти в виде интеграла Пуассона (12.5):

u x, y

t x

arctg

t x

l y

u x, y

arctg arctg arctg

arctg

2ly

x2 y2 l2

2ly

x2 y2

l2 2lyctg

x2 y2

u 2

y lctg

sin

2 u

Изотермы – верхние полуокружности

центром в точке

lctg

радиуса

(рис. 14):

sin

x2 y2 l2;

x2 y l 2 2l2;

Рис. 14

y l 2 2l2.

Предлагается самостоятельно рассмотреть задачу при T 0.

12.2. Задача Дирихле для полосы

Требуется найти ограниченное решение уравнения Лапласа (12.1) в полосе 0 х а, y 0, удовлетворяющее граничным условиям

u x, 0,

u x,0 f x ,

u 0, y u a, y 0.

(12.6)

Как и в предыдущей задаче, можно убедиться, что решение задачи

(12.1), (12.6) имеет вид (12.3).

u 0, y 0 e y 0;

u a,y 0 sin ae y ,		0 sin a 0
a n,	n	n	,	n 1,2,...

		a

Таким образом, решение

u x, y bn sin

(12.7)

n 1

Коэффициенты bn ищем из условия

u x,0 f x bn sin

Если функция f x разложима

n 1

в ряд Фурье (кусочно-монотонна и

ограничена) на [0;a], то bn являются ее коэффициентами Фурье:

2 a

f (x)sin

dx,

n 1,2,...

(12.8)

Задача 12.2 ([11], стр. 399, № 12). Найти решение уравнения Лапласа в полосе 0 х а, 0 y , удовлетворяющее условиям

		x
u 0, y u a,y 0,	u x,0 A 1		,	u x, 0.

		a

Решение. Согласно методу Фурье разделения переменных, решение уравнения Лапласа (12.1) ищем в виде:

u x, y cos x sin x e y , 0.

Коэффициенты , в общем случае зависят от , далее аргумент для краткости будем опускать.

u 0, y 0 e y, e y 0 0;

u a, y sin ae y 0, 0							sin a 0
a n,	n		n		,	n 1,2,...

			a
Таким образом (см. (12.7)),							ny
				nx		e
u x, y bn		sin						.
							a

	n 1				a

Коэффициенты bn ищем из условия

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015879.1 Кб51ТЛС31.DOC
#
19.09.2019887.81 Кб50ТМА Ковалёв.doc
#
13.08.20191.35 Mб12ТМАПР.DOC
#
04.06.201547.83 Кб58ТНУ 2.docx
#
17.11.2019111.62 Кб9ТОКБ-TCSEC.doc
#
27.03.20165.07 Mб152Толстых-Уравнматем-физики.pdf
#
04.06.20152.11 Mб218тормозное оборудование.doc
#
04.06.2015610.29 Кб1781Транспортная безопасность.pdf
#
04.06.201573.27 Кб54транспортное право.docx
#
04.06.2015152.96 Кб12трехфазные цепи.docx
#
19.07.2019117.76 Кб5Трудовые споры.doc