Толстых-Уравнматем-физики

Решение. Нетрудно убедиться, что характеристическое уравнение данного уравнения:

2 8 16 0 4 2 0

имеет один корень 4 кратности k = 2. Согласно правилу (3.6), запишем общее решение заданного уравнения:

u с1 f x 4t с2tf x 4t , u с1 с2t f x 4t .

Задача 3.4. Найти решение уравнения колебаний

где f1, f2 – произвольные функции.

Среди элементарных функций есть одна, обладающая свойством

Стало быть, можно взять

u ln x at ln x at ln x at . x at

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на t, получим функцию нужной структуры

a

t

уравнения колебаний, где c1, c2 – произвольные постоянные.

21

Замечание. В общем случае для уравнения (2.1) не могут быть проведены рассуждения, как для уравнения (3.1). Однако можно показать, что с изменением знака «дискриминанта» D = B2 – 4AC, существенно изменяются некоторые практически важные свойства уравнения.

Принятая в п. 1 классификация уравнений связана со знаком дискриминанта:

1)если D = B2 – 4AC < 0 для любых t, x, то уравнение (2.1) –

эллиптического типа;

2)если D = B2 – 4AC = 0 для любых t, x, то уравнение (2.1) –

параболического типа;

3)если D = B2 – 4AC > 0 для любых t, x, то уравнение (2.1) –

гиперболического типа;

4)если D = B2 – 4AC может иметь разный знак в зависимости от t, x, то уравнение (2.1) – смешанного типа.

Кпримеру, уравнение

x2 2u 2B 2u t2 2u 0 –

t2 t x x2

гиперболического типа, так как D B2 x2 t2 B2 x2t2 0 для любых t, x, а уравнение

22

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти общие решения уравнений и указать их тип:

2. Выяснить тип следующих уравнений:

3.При каком значении параметра a, функция x2 ay2 xy является решением уравнения Лапласа?

y

4. Найти решение уравнения Лапласа, имеющее вид: u f .

x

Ответы:

1.а) u f1 x f2 x 6t , гиперболический тип;

б) u 1 t f x 3t , параболический тип;

в) u f1 x 3 4i t f2 x 3 4i t , эллиптический тип.

2.а) гиперболический тип; б) смешанный тип; в) параболический тип.

3.a 1.

y

4. u c1arctg x c2.

23

4. Задача о колебании струны. Метод Фурье решения волнового уравнения

4.1. Основная задача о колебании струны. Волновое уравнение с нулевыми граничными условиями

В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить длины l. Предположим, что в начальный момент времени струна направлена по отрезку 0; l оси Ох и концы ее закреплены в точках x 0, x l. Под действием натяжения Н, которое считаем постоянным в каждой точке струны, струна располагается в равновесии (рис. 1).

l

Рис. 1

Если струну вывести из положения равновесия (отклонить от первоначального положения, а затем предоставить самой себе, или, не отклоняя струны, придать ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам скорость), то струна будет совершать движения – начнет колебаться. При этом силы напряжения H H H ,

возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения струны от положения равновесия. При этом можно считать, что движение точек происходит перпендикулярно оси Ох в одной плоскости. Следовательно, процесс колебаний струны описывается функцией u u x,t , которая задает отклонение точки струны с абсциссой х в момент времени t (рис. 1). Пусть – линейная плотность струны. Нетрудно показать (см., например, [4, 11, 16]), что свободные колебания точек струны описываются волновым уравнением

24

случае, если эти отношения есть константа, причем отрицательная, так как иначе получим только нулевое решение рассматриваемого уравнения.

Общие решения этих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид:

X Ae x Be x, T Cea t De a t .

Из этих равенств получаем два дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами:

X" 2X 0, T" a2 2T 0,

общие решения которых имеют вид (см., например, [11], гл. XIII, § 21; [4], гл. I, § 1.16)

X x Acos x Bsin x, T t Ccosa t Dsina t.

Заметим, что T t 0 (иначе u x,t 0), следовательно, функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям (4.2):

Х(х)=0, Х(l) = 0,

откуда при х = 0 имеем А = 0, а при x = l с учетом этого равенства

Bsin l 0.

Так как В 0 (иначе Х(х) 0 ), то sin l 0, откуда

26

Найденные значения , при которых уравнение (4.1) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями краевой задачи, им соответствуют собственные функции:

(сравните: вектор X 0 называется собственным вектором матрицы А, удовлетворяющим собственному значению , если AX X ).

Итак, для каждого значения n, учитывая (4.4) – (4.6), получаем решение, удовлетворяющее (4.2):

Уравнение (4.1) – линейное однородное, то есть сумма решений вида

также является решением задачи (4.1), (4.2), если этот ряд и ряды, получающиеся после двухкратного почленного дифференцирования, сходятся.

Решение (4.8) должно удовлетворять начальным условиям (4.3). Предположим, что функции f(x), F(x) можно разложить в ряд Фурье на (0; l) (см., например, [4, 11, 22]). Это возможно, если функции f(x), F(x) удовлетворяют условиям Дирихле, то есть кусочно-монотонны и ограничены на [0; l]. Далее будем считать, что условия Дирихле для заданных функций выполнены.

При t = 0 получаем

откуда коэффициенты Фурье ряда имеют вид:

27

Дифференцируя равенство (4.8) по t и полагая в нем t = 0, согласно (4.3), получим:

при граничных условиях u 0,t 0, u ,t 0 и начальных условиях

следовательно, разложима в ряд Фурье. Поэтому решение ищем по методу Фурье в виде (4.8) с учетом (4.9), (4.10), то есть при наших краевых условиях a 1 :

u x,t cn cosnt dn sinnt sinnx.

n 1

При вычислении коэффициентов используем метод интегрирования по частям.

28

Итак, форма струны 0 x в произвольный момент времени t определяется рядом

Задача 4.2. Однородная струна, закрепленная на концах x 0, x l, имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной

относительно прямой x l (рис. 2).

2

Необходимо определить отклонение точек струны от положения равновесия, если в начальный момент скорости точек отсутствуют.

29