Толстых-Уравнматем-физики

2. Доказать, что общее решение уравнения теплопроводности

u a2 2ut x2

может быть представлено в виде

u f (a2t x) g(a2t x),

где f и g – произвольные функции. Привести примеры частных решений.

3. Проверить, что функции ln(x2 y2), x2 y2 , arctg y x

являются частными решениями уравнения Лапласа

2u 2u 0.x2 y2

4. Доказать, что выражение

u f (at x) g(at x), t

где f и g – произвольные функции, задает общее решение уравнения

Привести пример частного решения.

5. Найти общее решение u = u(x, y) уравнений:

11

2.Линейные дифференциальные уравнения

вчастных производных и их основные свойства

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных содержит неизвестную функцию и ее частные производные по всем переменным только в первой степени, иначе говоря, частные производные входят в уравнение линейно (см. напр. (1.0)). Нетрудно видеть, что выше в п. 1 были рассмотрены только линейные уравнения.

Легко видеть также, что уравнения

являются нелинейными. Первое уравнение содержит искомую функцию во второй степени; второе – произведение частных производных; третье – произведение искомой функции на ее частную производную.

Общий вид линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции u = u(t, x) задает формула

где A, B, C, D, E, F, G – функции аргументов t, x.

Если функция G тождественно равна нулю G 0 , то получаем уравнение

которое назовем однородным, а уравнение (2.1) – неоднородным.

Свойства однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных

1 . Если u1 и u2 – частные решения уравнения (2.2), то их линейная комбинация c1u1+c2u2 (c1, c2 – произвольные постоянные) также решение этого уравнения.

Для доказательства достаточно применить свойства производных: производная суммы функций равна сумме производных, постоянный множитель можно вынести за знак производной (любого порядка), а затем определение решения уравнения.

12

Действительно,

Подставляя эти значения частных производных в (2.2) и группируя слагаемые относительно u1 и u2,получаем:

так как выражения в скобках равны нулю в силу того, что функции u1 и u2 являются решениями уравнения (2.2), то есть обращают его в тождество.

2 . Пользуясь методом математической индукции, можно показать, что любая конечная линейная комбинация (2.3) решений уравнения (2.2)

Вопрос о том, является ли ряд (2.4) решением данного уравнения (2.2), требует специального исследования. При этом часто используется признак Вейерштрасса (см., например, [3, 4, 8, 17]).

Признак Вейерштрасса. Если ряд (2.4) мажорируется сходящимся числовым рядом

13

un an, an ,

n 1

то ряд (2.4) сходится равномерно и абсолютно (иначе говоря, имеет место правильная сходимость ряда).

В этом случае можно показать, что (2.4) является решением уравнения (2.2), если ряды, полученные почленным дифференцированием, также обладают правильной сходимостью.

Например, функциональный ряд

Заметим (учитывая упражнение 1.1), что функция u, определяемая рядом (2.5), является решением волнового уравнения (1.1).

По аналогии, с линейными неоднородными дифференциальными уравнениями (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами, можно доказать следующий факт.

Теорема. Если функция uо – решение однородного уравнения (2.2), а функция uч частное решение неоднородного уравнения (2.1), то функция u uo uч решение уравнения (2.1).

Читателю предлагается доказать это утверждение самостоятельно.

14

Задачи для самостоятельного решения

1. Какие из ниже приведенных уравнений являются нелинейными?

2. Является ли функция u, определяемая рядом

Ответы и советы:

1.Нелинейные уравнения а, г, в; линейное – б.

2.Да. Проверьте дифференцированием: выражение, стоящее под знаком суммы, является решением волнового уравнения; убедитесь в правильной сходимости данного ряда и рядов, полученных двукратным почленным дифференцированием.

3.а) Да; б) Нет.

4.Да.

15

3. Метод Эйлера решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Математические модели различных прикладных задач часто сводятся к изучению специального вида уравнений в частных производных, для которых можно не только изучить свойства решений, но и найти их. К простейшему специальному виду относятся линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами

где А, В, С – константы.

Методом Эйлера будем искать решения уравнения (3.1) в виде

где f – произвольная функция (ср. метод Эйлера – метод характеристического многочлена для обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами).

Нужно подобрать неизвестную постоянную так, чтобы функция (3.2) была решением уравнения (3.1). Используя правило дифференцирования сложной функции, вычислим частные производные в

(3.1):

16

Все частные производные второго порядка имеют общий множитель f (x t), который, при подстановке частных производных в уравнение (3.1), можно вынести за скобки:

Уравнение (3.4), как и для обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений, назовем характеристическим.

В зависимости от дискриминанта D B2 4AC квадратного уравнения, общее решение уравнения (3.1) может быть получено следующим образом.

решений линейного дифференциального уравнения в частных производных (п. 2), функция u c1u1 c2u2 – также решение (3.1).

Итак, решение линейного однородного дифференциального уравнения

(произвольные постоянные c1 и c2, не ограничивая общности, для краткости записи можно опустить).

2. D B2 4AC 0.

В этом случае уравнение (3.4) имеет один вещественный корень

B (при A 0) кратности k = 2.

2A

По аналогии с обыкновенными линейными однородными дифференциальными уравнениями можно показать, что частными решениями уравнения (3.1) являются функции

u1 f (x t), u2 tf (x t).

17

где f – произвольная функция.

Для доказательства справедливости формулы (3.6) достаточно

Подстановка найденных частных производных в уравнение (3.1) дает тождество

DB2 4AC 0.

3.D B2 4AC 0.

Вэтом случае корни характеристического уравнения (3.4)

решение должно иметь реальный физический смысл, то комплексные решения не могут представлять для нас интереса. В качестве

18

вещественных решений рассматривают вещественную и мнимую часть комплексного решения

w u1 iu2 f1 x i t f2 x i t , f1, f2 – произвольные функции:

u c1u1 c2u2 ,

Физический смысл функций u1, u2 определяется содержанием реально решаемой задачи.

Задача 3.1. Найти общее решение уравнения Лапласа

Решение. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Такое уравнение часто встречается при решении физических задач. Например, если рассмотреть стационарное распределение температуры по тонкой изотропной пластинке, изолированной от внешней среды (температура в точке М(x, y) пластинки зависит лишь от координат этой точки), то можно показать, что функция температуры u = f(x+ y) удовлетворяет уравнению Лапласа (3.8).

Очевидно, что уравнение Лапласа относится к типу линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение2 1 0 имеет корни i.

Комплексное решение:

w f1(x iy) f2(x iy).

Вещественные решения:

u1 Re[ f1(x iy) f2(x iy)], u2 Im[ f1(x iy) f2(x iy)],

где f1, f2 – произвольные функции.

19

и решение уравнения Лапласа может быть представлено в виде:

u c1 ex cos y x2 y2 c2 ex sin y 2xy .

Задача 3.2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

2 12 0.

Его корни найдем, используя формулы Виета:

1 2 1, 1 2 12 1 4, 2 3.

Согласно (3.5), общее решение данного уравнения имеет вид:

u f1 x 4t f2 x 3t ,

где f1, f2 – произвольные функции.

Задача 3.3. Найти общее решение уравнения

20