Толстых-Уравнматем-физики

Нам известны все значения решения на прямой t = 0 (см. (14.2)). По формуле (14.5) определим значения во внутренних точках отрезка прямой t = (в первом ряду), значения же в крайних точках этого отрезка известны в силу (14.3). Таким образом, последовательно ряд за рядом мы определим значения искомого решения во всех узлах сетки. Можно доказать, что это

момент времени tk .

Значения решения между узлами сетки можно получить, например, экстраполированием, проводя плоскость через каждые три точки в пространстве (x, t, u). Обозначим решение, полученное по формуле (14.8) и экстраполированное указанным образом через uh x,t . Можно показать, что оно сходится к решению поставленной задачи, то есть

limuh x,t u x,t .

h 0

Точность метода порядка h2 : Rh uh x,t u x,t Mh2 ,

где M – постоянная, не зависящая от h. Следовательно, решение задачи (14.1) – (14.3) может быть получено методом сеток с любой степенью точности. Этот метод легко может быть реализован на ЭВМ. Для практической оценки погрешности можно использовать формулу (13.12).

111

Задача 14.1. Найти численное решение уравнения теплопроводности

u 2 2u, удовлетворяющее краевым условиям:

t x2

u(x, 0) = x(1,5–x), u(0, t) = 0, u(1, t) =0,5,

с шагом h = 0,2; 0 t 4 . Дать физическую интерпретацию задачи. Найти решение с точностью = 0,01 при t = .

Решение. С физической точки зрения решение u(x, t) поставленной задачи задает распределение температуры стержня 0 x 1 за время 0 t 4 (например, время в секундах, длина в сантиметрах, температура в градусах).

Для решения задачи применим метод сеток при (рис. 25):

Рис. 25

Приближенные значения температуры во внутренних узлах сетки (см. таблицу 14.1) ищем по формуле (14.8)

1

ui,k 1= 2 (ui 1,k +ui 1,k ), i =1,4, k = 1,4;

с учетом начальных и граничных условий, например:

112

Таблица 14.1

Согласно (14.8), заполняем ряд за рядом таблицу 14.2, представляющую искомое приближенное распределение температуры. Так как точность метода порядка h2, то вычисления проводим с тремя знаками после запятой (h2 = 0,04).

Таблица 14.2

Найдем теперь решение u(x, t = ) с заданной точностью. Уменьшим размер сетки h в два раза: h1 = 0,1; 1 = 0,0025 (рис. 26) (решение смотри в таблице 14.3).

Рис. 26

113

Таблица 14.3

Предлагаем сравнить самостоятельно приближенное решение с найденным аналитически (п. 8.1, задача 8.2).

Задачи для самостоятельного решения

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа

в прямоугольнике 0 x a, 0 y b с шагом h и с точностью = 10–4

при следующих условиях:

114

115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в пособии рассмотрен один из важнейших разделов высшей математики – уравнения математической физики. Основные теоретические положения уравнений математической физики достаточно полно и математически строго обоснованы, иллюстрируются большим количеством рисунков, примеров и задач. Многообразие решаемых задач, а также наличие задач для самостоятельной работы позволяет рассматривать пособие и как руководство к практическим занятиям.

Рассмотрение некоторых задач пособия можно предложить студентам в качестве научно-исследовательских работ. Пособие дает большой простор для дальнейших исследований в рамках указанного раздела, для расширения круга прикладных задач.

116

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Араманович И.Г. Уравнения математической физики / И.Г. Араманович, В.И. Левин. М.: Наука, 1964. 288 с.

2.Блохин Е.П. Динамика поезда / Е.П. Блохин, Л.А. Манашкин. М: Транспорт, 1982. 220 с.

3.Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. – М.:

Наука, 1967. – 608 с.

4.Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1985. 464 с.

5.Вериго М.Ф. Динамика вагонов / М.Ф. Вериго. М.: Транспорт, 1971.

175 с.

6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. М.: Наука, 1981. 512 с.

7.Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982. 256 с.

8.Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Учебное пособие для втузов / А.В. Ефимов. М.: Высш. шк., 1980. – Ч. 1. 279 с.

9.Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зельдович, А.Д. Мышкис. М.: Наука, 1972. 592 с.

10.Левин В.И. Методы математической физики / В.И. Левин. М.:

Учпедгиз, 1960. 244 с.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т. 2. 560 с.

12.Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1962.

Т. 1. 478с.

13.Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1974.

Т. 2. 655с.

14.Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1958.

Т. 3. 675с.

15.Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. М.: Наука, 1957.

Т. 4. 812с.

16.Тихонов А.М. Уравнения математической физики / А.М. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. 735 с.

17.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970. Т. 2. 800 с.

18.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970. Т. 3. 656 с.

19.Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем / К.В. Фролов, Ф.А. Фурман. М.: Машиностроение, 1980. 276 с.

117

20.Чудесенко В.Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей математики / В.Ф. Чудесенко. М.: Высшая школа, 1983. 112 с.

21.Сборник задач по уравнениям математической физики / Под редакцией В.С. Владимирова. М.: Наука, 1982. 256 с.

22.Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Метод. указ. / Сост. канд. физ.- матем. наук О.Д. Толстых. – Иркутск: ИрИИТ, 1987. 30 с.

23.Уравнения математической физики. Методические указания / Сост. канд. физ.-матем. наук О.Д. Толстых. Иркутск: ИрИИТ, 1992. 66 с.

24.Криволинейные интегралы. Метод. указ. / Сост. канд. физ.-матем. наук О.Д. Толстых. – Иркутск: ИрИИТ, 1993. 30 с.

25.Толстых О.Д. Метод сеток. Курс лекций и индивидуальные задания / О.Д. Толстых. Иркутск, 1999. 24 с.

118