Толстых-Уравнматем-физики

(рис. 9).

Рис. 9

Задачи для самостоятельного решения

1.Неограниченная струна возбуждена начальным локальным отклонением вида, изображенного на рисунке 10. Начальные скорости отсутствуют.

2. Начертить профиль неограниченной струны для различных моментов времени, если начальное отклонение ее от положения равновесия равно нулю: f x 0, а начальная скорость постоянна F x v0 на участкес; 2c и равна нулю вне этого участка (ср. задачу 6.1).

3.Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим форму параболы (рис. 11). Найти закон u x,t движения точек

51

струны в любой момент времени, если начальные скорости точек струны равны нулю.

4. Методом Даламбера найти решение волнового уравнения ut"2 a2u"x2

при начальных условиях:

5.Решить задачи 1, 2 для полуограниченной струны 0 х при условии, что конец x 0 закреплен.

6.Полуограниченная однородная струна 0 х с закрепленным концом x 0 возбуждена начальным отклонением

5l , 3l , 7l , 9l , предполагая, что начальные скорости отсутствуют. 4a 2a 4a 4a

7.Линейные вибрационные системы

сраспределенными параметрами

Внастоящее время стали особенно актуальны задачи оптимизации параметров и надежности виброзащитных систем, которые, как правило, являются нелинейными. Мы рассмотрим простейший случай линейных

52

виброзащитных систем. Основным элементом виброзащитной системы является амортизатор, а его наиболее существенной частью – упругий элемент. В результате внутреннего трения в упругом элементе происходит демпфирование колебаний. В ряде конструкций амортизаторов применяют специальные демпфирующие устройства для рассеивания энергии колебаний. Выбор модели упругого элемента определяется спектром частот вибрационного воздействия. Чем они выше, тем более сложной оказывается модель упругого амортизатора. Если частоты возбуждения больше собственных частот амортизатора, его необходимо рассматривать в виде системы с распределенными параметрами. В этом случае продольные упругие колебания амортизатора описываются волновым уравнением относительно смещения u x,t плоскости его поперечного сечения:

где коэффициент распределенных потерь; с – скорость распространения смещения вдоль амортизатора

(рассмотреть самостоятельно возможность const > 0).

Нетрудно убедиться, что решением полученных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами являются функции

X Ccos x Dsin x,

где c собственные частоты продольных колебаний амортизатора.

53

Для определения коэффициентов А, В, С, D необходимо учесть начальные и граничные условия.

Рассмотрим сначала свободные колебания амортизатора.

Если концы амортизатора свободны, то граничные условия имеют

Таким образом, решение (7.1) с учетом (7.4), (7.3), соответствующее свободным колебаниям амортизатора, определяется рядом:

Коэффициенты an, bn определяются начальными условиями.

Рассмотрим теперь свободные колебания амортизированной массы

(рис. 12).

Закон колебаний описывается уравнением (7.1) при 0.

Пусть М – амортизируемая масса, s – площадь поперечного сечения амортизатора, m sl – масса амортизатора. Тогда граничные условия имеют вид:

54

Первое условие, примененное к (7.4), приводит к равенству C 0, а из второго при 0, получим

u TX Acos t Bsin t sin x, u T cos x,

tg sl m .

M M

Если велико (легкий амортизатор нагружен тяжелой массой), то из (7.10), (7.13) в первом приближении

Действительно, при 0 справедливы соотношения эквивалентности:

tg , 1 tg 2.

Отсюда частота собственных колебаний первой формы

55

Более точное приближение получим, если в (7.10) положим

и второе приближение частоты собственных колебаний первой формы:

3

Стало быть, для отыскания лучшего приближения частоты собственных колебаний системы (рис. 12) необходимо к массе, укрепленной на амортизаторе, прибавить треть массы самого амортизатора.

Если мало (амортизатор нагружен легкой массой), можно считать

56

При 0 из (7.10) получим характеристическое уравнение

соответствующее случаю, когда один конец амортизатора закреплен, а второй свободен. Из (7.20)

При произвольном значении для в первом приближении можно брать средние значения между крайними пределами, определяемыми формулами (7.14) и (7.18), соответствующими M , M 0.

Параметр 2 определяется как волновое число, где длина c

продольной волны, бегущей по амортизатору. Значения волнового числа, определяемые формулами (7.6) и (7.21), соответствуют волновому резонансу, когда на длине амортизатора укладывается целое число полуволн. На частотах, соответствующих указанным значениям (7.7) и (7.22), виброизоляция отсутствует. Вблизи этих частот она может быть даже отрицательной из-за возникновения значительных продольных колебаний амортизатора. Следует выбирать такие соотношения параметров системы (рис. 12), чтобы избежать подобной ситуации. Аналогично можно рассмотреть вынужденные колебания амортизатора

(см. [19]).

Заметим, что математические модели (см. [2]) подвижной рамы грузового вагона, кузова вагона с подвижной хребтовой балкой и т.п. подобны рассмотренным в этом параграфе примерам.

8.Задача о распространении тепла в стержне

иее решение методом Фурье. Интеграл Пуассона

8.1.Решение уравнения теплопроводности методом Фурье

Рассмотрим тонкий однородный стержень длины l, расположенный между точками x = 0, x = l оси Oх.

Боковая поверхность стержня предполагается теплонепроницаемой, сечение настолько мало, что температуру во всех точках сечения можно

57

считать постоянной. В начальный момент времени t 0 дано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое функцией f(x). Указан также тепловой режим на концах стержня. Задача состоит в определении температуры точек стержня как функции абсциссы x и времени t : u u x,t . Можно показать (см., например, [11], гл. XVIII, § 4; [4], гл. 5),

что температурный режим стержня, в случае отсутствия источников тепла,

удовлетворяет уравнению теплопроводности

если F x,t плотность тепловых источников, то

a2 k , k – коэффициент теплопроводности стержня; с, ρ – c

соответственно, теплоемкость и плотность вещества стержня. В пространстве уравнение теплопроводности имеет вид:

Сначала рассмотрим простейший случай, когда концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю.

Таким образом, нужно найти решение уравнения (8.1),

удовлетворяющее начальному условию

В более общем случае первая краевая задача для уравнения теплопроводности имеет граничные условия

Согласно методу Фурье, решение ищем аналогично п. 4, в виде:

u x,t X x T t .

58

Подстановка такого вида решения в (8.2) дает

граничные условия имеют вид: u 0,t X 0 T t 0

X 0 0 A 0; u l,t X l T t 0 X l 0

Аналогично решается задача при других граничных условиях. Например, если на концах стержня поддерживается постоянная температура, отличная от нуля:

где u* x,t удовлетворяет данным граничным условиям, например,

59

то есть ищется по формулам (8.4), (8.5).

Таким образом, если в концах стержня поддерживается постоянная температура (отличная от нуля), то температурный режим стержня определяется функцией:

При t распределение температуры внутри стержня стремится к линейному u* x,t u* x .

Задача 8.1. Дан тонкий однородный стержень длины l с теплоизолированной поверхностью, начальная температура которого равна

cx l x

f x l2 . Концы стержня поддерживаются при температуре равной нулю. Определить температуру стержня в любой момент времени.

Решение. Требуется решить задачу типа (8.1), (8.2), (8.3) при

Предлагаем читателям самостоятельно получить коэффициенты, интегрируя по частям:

60