Толстых-Уравнматем-физики

9.2. Стационарное распределение температуры

Дано однородное тело V, ограниченное поверхностью S. Температура в любой точке тела удовлетворяет уравнению теплопроводности

ut a2 u. Но так как процесс установившийся, то температура не зависит от времени, а зависит лишь от координат точки тела, то есть ut 0, и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа u 0.

9.3. Краевые задачи для уравнения Лапласа и их корректность. Свойства гармонических функций

Краевая задача. Для решения уравнения Лапласа (9.1) в области V, в зависимости от граничных условий, может быть поставлено несколько краевых задач. Все они характеризуются отсутствием начальных условий.

Первая краевая задача или внутренняя задача Дирихле заключается в следующем: требуется найти функцию u, удовлетворяющую в области V уравнению Лапласа u 0, определенную и непрерывную в замкнутой области, включая границу: V S, которая принимает на границе S

заданные значения u S f x, y, z , или, короче, гармоническую внутри

области V функцию u, принимающую на границе S заданные значения. Если на поверхности S задается значение нормальной производной

функции u

n S

то задача отыскания гармонической в области V функции,

удовлетворяющей этому условию, называется второй краевой задачей или задачей Неймана.

В случае двумерной области соответствующие задачи называются плоскими. Они также имеют большое практическое применение.

Поставленные задачи имеют единственное решение. Это имеет очевидную физическую интерпретацию: если на границе поддерживать все время определенный тепловой режим, то внутри тела установится вполне определенная (единственная) температура.

Корректность краевых задач (единственность и непрерывная зависимость решения от краевых условий) вытекает из следующих свойств гармонической функции.

1°. Принцип максимума. Функция, гармоническая в замкнутой области V V Г , не может принимать внутри области V значений

71

больше, чем максимум ее значений на границе Г, и меньше, чем минимум ее значений на Г.

Иначе, наибольшее и наименьшее значения гармонической функции достигаются на границе области:

m min u x, y, z u x, y, z max u x, y, z M .

Г Г

2°. Единственность решения. Задача Дирихле для замкнутой ограниченной области может иметь лишь единственное решение, то есть не существует двух гармонических функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области V , принимающих на границе Г одни и те же значения. Если же граница кусочно-гладкая, а область выпуклая, то задача имеет решение (теорема Неймана).

3°. Корректность задачи. Решение краевой задачи для замкнутой ограниченной области непрерывно зависит от граничных условий.

9.4. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Поставленные задачи исследованы очень хорошо. Решение можно искать как аналитическими методами, например, методом Фурье, так и различными приближенными методами, например, методом сеток

(см., например, [7, 11, 25]).

Особенно важны случаи, когда поставленная задача для уравнения Лапласа решается эффективно. Некоторые из них мы коротко рассмотрим ниже (подробнее см. [4, 11, 16]).

Для этого нам необходимо получить уравнение Лапласа в цилиндрических координатах r, , z . Их связь с декартовыми координатами дается формулами:

Перейдем в уравнении Лапласа (9.1) к цилиндрическим координатам и найдем уравнение, которому удовлетворяет функция

u x, y, z u1 r, , z .

Дифференцируя это равенство, имеем

u u1 r u1 ,x r x x

72

и другие производные, входящие в выражения для вторых производных функции u, подставить их в уравнение Лапласа.

Если искомая функция не зависит от z (плоская задача), то уравнение Лапласа упрощается

10.Решение задачи Дирихле для кольца

спостоянными значениями гармонической функции на границе

Требуется найти гармоническую функцию в кольце K, ограниченном окружностями

73

и имеющую на них постоянные значения. Учитывая характер области и граничные условия, целесообразно искать решения задачи в полярных координатах, независимые от полярного угла .

Итак, требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа (ср. (9.6))

Заметим, что задача Дирихле-Неймана в цилиндрических

74

Очевидно, решение этой задачи не зависит ни от z, ни от , и задается формулой (10.4).

Дать гидродинамическое истолкование задачи.

Решение. Целесообразно искать гармоническую функцию, независящую от полярного угла, то есть удовлетворяющую уравнению (10.1). Как показано выше, общее решение этого уравнения имеет вид (10.3). Для нахождения констант с1,с2, согласно (10.5), имеем систему

Если рассмотреть плоско-параллельное потенциальное движение жидкости (см., например, [11], гл. XVIII, § 8) в пространстве между двумя цилиндрами радиусов R1, R2 , то найденная функция задает давление жидкости в рассматриваемой области с известной скоростью течения

75

11. Метод Фурье решения уравнения Лапласа в круговом кольце

11.1 Метод Фурье решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона

Пусть необходимо найти гармоническую функцию u в круге радиуса R с центром в начале координат, если на окружности значение искомой функции определяется некоторой непрерывной функцией f , где полярный угол. Такая функция должна удовлетворять уравнению Лапласаu 0, которое лучше представить в полярных координатах.

Решаем плоскую задачу, то есть, рассматриваем уравнение (9.5) при z = 0.

Таким образом, нужно решить задачу Дирихле

Если эти отношения есть положительная константа, то получается нулевое решение (11.1), что не удовлетворяет (11.2).

Таким образом, приходим к уравнениям:

С учетом структуры уравнений их решения следующие:

R r rm, Ф Acos Bsin , Ф 2 Ф

76

R r rm подставляем во второе уравнение системы (11.4) и получаем при

n

r 0, а такая функция не может удовлетворять задаче (11.1), (11.2), так как гармоническая функция достигает наименьшего и наибольшего значений на границе области. Стало быть,

Вместо бесконечного ряда (11.8) решение задачи (11.1), (11.2) можно представить в виде интеграла Пуассона

77

или, меняя в правой части порядок суммирования и интегрирования в силу равномерной сходимости ряда на отрезке ; ,

Согласно формуле Эйлера,

cosn t ein t e in t .

2

Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей геометри-

78

В итоге, подставляя преобразованное выражение в (11.8 ), получаем формулу (11.9).

11.2. Метод Фурье решения задачи Дирихле для кольца

Требуется найти решение уравнения Лапласа u 0 в полярных координатах в кольце К: R1 r R2, удовлетворяющее граничным условиям

Как и в п. 11.1, применяя метод Фурье, ищем решение в виде:

В отличие от п. 11.1 Rn r Crn Dr n,n 1,2,... и, следовательно,

u r, A0 B0 lnr Cnrn Dnr n An cosn Bn sinn ,

n 1

u r, A0 B0 lnr

n 1

79

отрицательным степеням Dnr n вне круга радиуса R1. Тогда ряд

n 1