Толстых-Уравнматем-физики

8.5

2

l

cx l x

nx

dx udv uv

vdu

b

sin

n

l

0

l2

l

u

dv

4c

1 n 1,

n 1,2,...

3n3

b2k 0,

b2k 1

8c

,

k 1,2,...

3 2k 1 3

Ответ: искомый температурный режим

8c

1

a 2k 1 2

2k 1 x

u x,t

t

e

l

sin

.

3

3

k 1

2k 1

l

Задача 8.2. Найти решение уравнения теплопроводности

u

2

2u

0 x 1, t 0

x2

t

3

1

при краевых условиях u x,0 x

x

,

u 0,t

0,

u 1,t

.

2

2

u* x удовлетворяет граничным условиям, например,

u* 0,5x, а

v x,t

удовлетворяет задаче

v

2

2v

, v x,0 u x,0 u* x x2, v 0,t v 1,t 0,

t

x2

8.8

u x,t

0,5x bne 2 2n2t sin nx.

bn

8.5

1

x x2

sin nxdx udv uv

vdu

41 1

n

2

3

3

0

n

u

dx

b2k 0,

b2k 1

8

,

k 1,2,...

3

2k 1 3

Ответ: решение данной краевой задачи

u x,t 0,5x

8

1

e 2 2 2k 1 2t sin 2k 1 x

3

3

k 1

2k 1

(ср. задачу 8.1 при a2 2,

c l

1).

u

a2

2u

,

u x,0 f x ,

u

0,

u l,t 0.

t

x2

x

x 0

Решение ищем в виде u x,t X x T t :

2

TX

T

X

2

const 0 ;

a2T

X

T X a

T a2 2T T e a2 2t,

X 2 X 0 X Acos x Bsin x.

Из условия

u

0

x

следует, что X 0 0,

x 0

a 2n 1 2

2n 1 x

t

и х,t ane

2l

cos

.

n 0

2l

Из начального условия

2n 1 x

и х,0 f x an cos

,

откуда

n 0

2l

2 l

2n 1 x

an

f x cos

dx,

n 0,1,2,...

l

2l

0

Например, при f x и0

const

2 l

2n 1 x

4u0

2n 1 x

l

an

u0 cos

dx

sin

,

l

2l

2n 1

2l

0

0

а

1 n 4u0

, n 0,1,2,....

n

2n 1

Ответ: температурный режим стержня

4u0

n

a 2n 1 2

2n 1 x

t

u x,t

1

e

2l

cos

.

n 0 2n 1

2l

u 0,t ) 0,

u

0.

x

Как и выше, T e a2 2t ,

x l

X Acos x Bsin x.

u 0,t 0 X 0 A 0,

X Bsin x,

B 0.

u

0 X l Bcos l 0, cos l 0

x

x l

l

2n 1

n

2n 1

,

n 0,1,2,...

2

2l

Температурный режим

a 2n 1 2

2n 1 x

t

u x,t bne

2l

sin

.

2l

n 0

Из начального условия

2n 1 x

u x,0 f x bn sin

,

откуда

n 0

2l

2n 1 x

2 l

bn

f (x)sin

dx,

n 0,1,2,...

l

2l

0

1

u x,t

f z dz e a2 2t cos z x d .

(8.12)

0

Если воспользоваться формулой

2

1

e

e a2 2t cos d

4a2t

,

2a

t

0

1

z x 2

u x,t

f z e

4a

2t dz.

(8.13)

2a

t

0,

x x

0

, x x

0

h,

f* x

Тогда функция

f x , x0 x x0 h.

1

z x 2

1

x0 h

z x 2

u* x,t

f * z e

4a2t dz

f (z)e 4a2t dz

2a

t

2a

t

x

0

есть решение уравнения (8.1),

принимающее при t 0

значение f * x .

x,t

f ( )h

x 2

u

*

e

2

x0 x0 h.

4a t ,

2a t

Эта формула дает значение температуры в любой точке стержня в

любой момент времени, если при

t 0

температура u* 0 вне отрезка

x0; x0 h , где она равна

f x . Если линейная плотность стержня, с –

1

e

x 2

u* x,t

u* x,t c

4a2t

f h

Q

2a t

функцией

u

,

x x x

,

u x,0 f x

0

1

2

0,

x x1,

x x2.

Решение. Так как стержень бесконечный, то решение уравнения

теплопроводности

u

a2

2u

запишется в

виде интеграла Пуассона

t

x2

(8.13). Для данной функции

u x,t

u0

x

2

z x 2

e 4a2t dz.

t

2a

x

1

Ф x

1

x

2 /2dy – функция Лапласа (табулирована).

e y

2

0

Ф 0 0, Ф x Ф x .

8.13

1

z x 2

1

u x,t

e 4z2 4z e

4a2t dz

e A z dz ,

2a t

2a

t

A z 4z

2

z x 2

1

2

x

x2

4z

4

z

2

2

z

.

4a2t

4a2t

4a2t

4a2t

1

8a2t x

2

x2

8a2t x 2

A z 4

z

2

2

2

16a

2

1 4a

2

4a

16a

t

1

4a

t

t

t

t

16a2t 1

8a2t x

2

16a2t 4x 4x2

2

2

2

.

4a

t

z

1

16a

t 1

16a

2

2

2

t 1

2

2

16a

t 4x 4x

16a

8a t x

Тогда u x,t

1

2

t

z

2