Примеры и задачи Глава 1. События и вероятности их появления

Расчетные соотношения

k – число исходов, благоприятных событию A из общего числа исходов n. Вероятность возникновения события А:

.

Размещение – возможные комбинации в подмножестве объемом m  n из элементов множества объемом n, с учетом порядка следования. Перестановка – размещение при m = n. Сочетание – возможные комбинации в подмножестве объемом m  n из элементов множества объемом n, без учета порядка следования

Число размещений из n по m:

.

Число перестановок: P_n = n!

Число сочетаний:

.

Формула полной вероятности: .

Формула Байеса: .

Задача № 1.1

В коробке находится 200 резисторов. Из них 10 нужного номинала.

а) Какова вероятность того, что взятый наугад резистор будет нужного номинала?

б) Какова вероятность, что в первой половине резисторов нужного номинала не встретится?

Решение

а) Общее число исходов n = 200, число исходов, благоприятных событию A = {взятый резистор нужного номинала}, k = 10. Вероятность события

P(A) = k / n = 10 / 200 = 0,05.

б) Объем выборки m = 200 / 2 = 100 резисторов. Возможное число исходов

.

Число исходов, благоприятных событию B = {из первых 100 резисторов нужных не оказалось}

.

Вероятность события

=

== 0,00077.

Ответ: а) 5 %, б) 0,077 %.

Задача № 1.2

В коробке находится 6 резисторов. Из них 2 нужного номинала. Резисторы разделили на 2 кучки. Какова вероятность попадания одного резистора нужного номинала в первую кучку?

Решение

Пронумеруем резисторы порядковыми номерами от 1 до 6. Пусть резисторы 1 и 2 нужного номинала. Перечислим все возможные комбинации резисторов в первой кучке. Отметим комбинации, содержащие только по одному резистору 1 или 2.

Номер	Комбинация	Благоприятная		Из нужных	Из ненужных
1	1 2 3	–
2	1 2 4	–
3	1 2 5	–
4	1 2 6	–
5	1 3 4	+		1	3 4
6	1 3 5	+			3 5
7	1 3 6	+			3 6
8	1 4 5	+			4 5
9	1 4 6	+			4 6
10	1 5 6	+			5 6
11	2 3 4	+		2	3 4
12	2 3 5	+			3 5
13	2 3 6	+			3 6
14	2 4 5	+			4 5
15	2 4 6	+			4 6
16	2 5 6	+			5 6
17	3 4 5	–
18	3 4 6	–
19	3 5 6	–
20	4 5 6	–

Одно место в комбинации занимает нужный резистор. Количество комбинаций равно числу сочетаний из двух по одному. Два места в комбинации занимают ненужные резисторы. Количество комбинаций равно числу сочетаний из четырех (6 – 2 = 4) по два. Каждая комбинация нужных может быть с любой из ненужных. Общее число комбинаций равно произведению количества обоих комбинаций

.

Ответ: 60,0 %.

Задача № 1.3

В коробке находится 200 резисторов. Из них 10 нужного номинала. Резисторы разделили на 4 кучки. Какова вероятность попадания двух резисторов нужного номинала в одну кучку.

Решение

Порядок следования резисторов не имеет значения. Количество наборов из резисторов в одной кучке:

.

Из всех 10 нужных резисторов можно составить сочетаний по 2:

.

Из оставшихся 190 резисторов можно составить сочетаний по 48:

.

Каждую пару нужных резисторов можно доукомплектовать до кучки любым сочетанием ненужных резисторов. Общее количество сочетаний будет k = k₂k₄₈.

Вероятность события

.

Ответ: 28,7 %.

Задача № 1.4

Пусть имеется 7 резисторов без маркировки. Из трех резисторов по 0,25 Вт один с сопротивлением 1 кОм, а из четырех по 0,125 Вт – два с сопротивлением 1 кОм. Если брать резисторы наугад и замерять сопротивление, то какова будет вероятность того, что первый резистор с сопротивлением в 1 кОм будет резистором: а) в 0,25 Вт? б) 0,125Вт?

Решение

Событие А = {попался резистор 1 кОм}. Гипотеза Н₁ = {резистор 0,25 Вт}, гипотеза Н₂ = {резистор 0,125 Вт}. Вероятности гипотез, условные вероятности и полная вероятность события А вычисляются по формуле классической вероятности:

Р(Н₁) = ,Р(А|Н₁) = ,

Р(Н₂) = ,Р(А|Н₂) = ,

Р(А) = =.

,

.

Ответ: а) , б).