Глава 4. Комплектация рэа зиПом Общие сведения

ЗИП – запасное имущество и принадлежности. ЗИП является источником расходных материалов при ремонте и обслуживании техники. Существует два способа комплектации ЗИПа.

Одиночный комплект – предназначается для обеспечения одиноч-

ного изделия.

Групповой комплект – предназначен для обеспечения группы изделий и пополнения одиночного ЗИПа.

Схемы обеспечения ЗИПом:

нормальная – когда имеются одиночный и групповой комплект ЗИПа,

одиночная – когда отсутствует групповой комплект,

групповая – когда отсутствует одиночный комплект ЗИПа.

Для бытовой РЭА характерна групповая схема обеспечения ЗИПом, когда групповой комплект находится в сервисном центре.

Недостаток запасных частей увеличивает продолжительность ремонта за счет сроков поставки, а слишком большой объем ЗИПа приводит к замораживанию средств. Таким образом, существует экономическая целесообразность вычисления оптимального объема ЗИПа.

Для вывода расчетных формул используется математический аппарат теории массового обслуживания, являющийся самостоятельным разделом теории вероятности.

Введение в теорию массового обслуживания

Пусть существует поток заявок на замену элементов одного типономинала (одного типа и одного номинала – т.е. адекватные). Пусть в комплекте ЗИПа один элемент. Предположим, что среднее время восстановления элемента ЗИПа равно Т_в. Среднее время ремонта T_р. Тогда процесс восстановления аппаратуры можно изобразить на диаграмме (рис. 2.10).

EMBED Word.Picture.8

Рис. 2.10

На рис. 2.10 t₁, t₂, t₃, t₄ – моменты отказов, Т_п2, Т_п3 – время ожидания (простоя) из-за отсутствия запасных частей, T_хр – время хранения или время простоя элемента.

Математическим аппаратом, описывающим подобные процессы, является теория массового обслуживания.

Системой массового обслуживания (СМО) называется система обслуживания, имею­щая в своем составе одну или несколько обслуживающих единиц (каналов обслуживания). На вход системы поступает поток заявок. Каждый канал имеет свою пропускную способность (количество обслуживаемых заявок в единицу времени). Если заявка принята, но все каналы заняты, заявка становится в очередь.

Целью математического моделирования процесса является оптимизация СМО по критерию минимальности времени вынужденного простоя и минимальности времени простоя аппарата обслуживания (времени хранения элементов ЗИПа t_хр).

В теории массового обслуживания выводятся формулы для расчета распределения вероятностей простоя заявок и простоя системы обслуживания для различных законов распределения потока заявок, потока восстановления, числа каналов и времени обслуживания. Рассмотрим лишь один случай со следующими допущениями.

1. Предположим, что поток заявок простейший, т.е. обладает свой-ствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Ординарность – вероятность появления двух и более событий в один и тот же момент времени отсутствует. Стационарность – вероятностные характеристики не зависят от времени. Отсутствие последействия – вероятность возникновения событий не зависит от факта возникновения событий в предыдущие моменты времени.

2. Предположим также, что запрос на восстановление элемента ЗИПа подается в момент его изъятия из ЗИПа, а время непосредственно ремонта мало по сравнению со временем восстановления и им можно пренебречь.

3. Пусть процесс восстановления элементов ЗИПа равномерный, т.е. с экспоненциальным законом распределения с постоянной интенсивностью .

Для простейшего потока с постоянной интенсивностью  вероятность поступления k требований за интервал времени t имеет распределение Пуассона (идентично вероятности появления k отказов за время t):

.

Допущения о Пуассоновском характере потока требований и о показательном законе распределения времени восстановления позволяют применить аппарат марковских случайных процессов.

Марковским называется процесс в системе, для которого вероятность состояния системы в будущем зависит только от состояния в настоящем, и не зависит от состояния в прошлом.

Во время поступления заявки система из n каналов может находиться в одном из следующих состояний:

x₀ – свободны все n каналов,

x₁ – занят только один канал,

x₂ – занято два канала,

…

x_k – занято k каналов,

…

x_n – заняты все n каналов.

Обозначим как p_k(t) вероятность нахождения системы в состоя- нии x_k к моменту времени t. Очевидно, что для любого момента времени

.

Из k-го состояния, в котором заявка застала систему, за малый промежуток времени t система может перейти в состояние k – 1 (канал освободился) либо k + 1 (пришла еще одна заявка), либо остаться в состоянии k.

Вероятность того, что в момент времени t = t + t система будет в состоянии k, определяется как вероятность суммы трех событий:

A – система осталась в состоянии k;

B – система перешла из k – 1 (пришла заявка);

C – система перешла из k + 1 (канал освободился);

Рассмотрим вероятность события B.

Вероятность того, что придет одна заявка

.

Вероятность попадания из k – 1 состояния в k есть произведение вероятности нахождения в состоянии k – 1 и вероятности прихода заявки:

P(B) = p_k–1(t)  t.

Рассмотрим вероятность события C.

Вероятность того, что ни один из k + 1 занятых каналов не освободится

.

Вероятность того, что хотя бы один канал освободится, есть событие противоположное:

1 – [1 – (k+1) _в t] = (k+1) _в t.

Вероятность попадания из k + 1 состояния в k есть произведение вероятности нахождения в состоянии k + 1 и вероятности освобождения канала:

P(C) = p_k+1(t) (k + 1) _в t.

Рассмотрим вероятность события A.

Вероятность того, что не освободится ни один из k каналов и не придет заявка, есть произведение вероятностей этих событий:

.

Вероятность сохранения k-го состояния есть произведение вероятности нахождения в этом состоянии и вероятности отсутствия свободных каналов и заявки:

P(B) = p_k(t) [1 – ( + k _в) t] = p_k(t) – ( + k _в) t p_k(t).

Вероятность несовместных событий A, B и C есть сумма вероятностей их появления:

p_k(t + t) = p_k(t) – ( + k _в) t p_k(t) + p_k–1(t)  t + p_k+1(t) (k + 1) _в t.

Перенося p_k(t) в левую часть, деля на t и переходя к пределу t  0, получим дифференциальное уравнение для p_k(t).

Вероятность того, что за время t ни один из каналов не освободится

.

Вероятность того, что придет одна заявка

.

Вероятность попадания системы в n-е состояние

p_n(t+t) = p_n(t) – n _в t p_n(t) + p_n–1(t)  t .

Сведя все уравнения в систему, получим систему дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Эрланга [4]:

Уравнения Эрланга описывают поведение системы во времени. Начальные условия для решения системы: p₀ = 1, p₂ = p₃ = … = p_n = 0 (все каналы свободны).

При t   система переходит в установившийся режим, при котором вероятности p₀(t), p₁(t), …, p_n(t) стремятся к постоянным пределам p₀, p₁, …, p_n, а их производные к нулю. Выполнив замену, получим систему уже не дифференциальных, а алгебраических уравнений. Решая систему относительно неизвестных вероятностей, получаем:

.

Обозначим . Величина называется приведенной плотностью потока заявок [4] (или приведенная интенсивность потока заявок). При этом.

С учетом можно получить выражения дляp₀:

,

откуда

,

и, следовательно,

для 0  k  n.

Полученные формулы (система уравнений) для p_k называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов СМО в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Применительно к комплекту ЗИПа формулы позволяют определить вероятность того, что будет занято k из n элементов ЗИПа одного типономинала.