- •Глава 5
- •5.5.1. Последовательный колебательный контур
- •Резонансная характеристика последовательного колебательного контура
- •Резонанс в связанных колебательных контурах
- •5.6. Операторные функции цепи
- •Глава 6
- •6.4.2. Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь
- •4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.
- •6.6. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура
4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.
Коэффициенты р1, p2 находят, как корни характеристического уравнения:
отсюда
.
Найдем постоянные интегрирования А1, А2.
Их находят из начальных условий, т.е. при t = +0, для искомой функции и ее производных. Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t = +0) определяют из схемы замещения исходной цепи (рис. 6.24, б), образованной после коммутации (с учетом законов коммутации), по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (iL(–0) = iL(+0)), а емкости – короткому замыканию (uC(–0) = uC(+0)).
Аналогичную схему замещения можно получить, если считать, что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t = +0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω ∞).
Схема после коммутации (при t = +0, ω ∞) приведена на рис. 6.25, б, а произвольные постоянные A1 и А2 находят из уравнений:
; .
Из этой системы находим .
Запишем общее решение относительно u2(t):
.
Окончательное решение зависит от характера корней характеристического уравнения:
а) если , то решение равно сумме экспонент (рис. 6.25, а), оно не периодическое и его (режим переходного процесса) называют апериодическим;
б) если , то корни будут комплексными . В этом случае решение представляет собой гармоническую функцию времени, убывающую по экспоненте (рис. 6.25, б). Такое решение (режим переходного процесса) называют колебательным;
exp1 exp1+exp2 exp2 e–t а б |
Рис. 6.25 |
Отсюда условием критического режима
;
является соотношение Q = 2.
6.6. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура
Схема последовательного колебательного контура приведена на рис. 6.26, а.
Для расчета переходной характеристики установим связь между выходным u2 и входным u1 напряжениями. Входной сигнал имеет вид ступенчатого напряжения , тогда переходная характеристика h(t) находится из выражения h(t) = u2(t)/E, где u2(t) – выходное напряжение.
C C R R а б u2()
= E u2(0)
= 0 u2(t) E u1(t) L C R L E L i(0)
= 0 в |
Рис. 6.26 |
Задачу будем решать классическим способом. За переменную в составляемом уравнении выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи и наиболее просто связанную с выходным сигналом. Такой переменной является напряжение на конденсаторе uС(t) = u2(t).
1) Составим дифференцирующее уравнение относительно переменной состояния цепи и приведем его к стандартному виду.
Данная цепь представляет контур, а потому, используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениям и токами на элементах схемы, запишем:
; , .
Отсюда
; .
Подставим полученные напряжения в первое выражение:
.
Поделим на LC и введем обозначения .
Получим
.
2) Запишем общее решение.
Оно зависит от выходного сигнала. Если выходной сигнал ступенчатый, то отклик записывается так:
.
3) Найдем вынужденную составляющую общего решения .
Для этого составим схему замещения исходной цепи при t ∞, (рис. 6.26, б), из которой и получим, что u2(=0)= E.
4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.
Коэффициенты находят, как корни характеристического уравнения:
.
Отсюда
.
5) Найдем постоянные интегрирования А1, А2.
Их находят из начальных условий, т.е. при t = +0 для искомой функции, ее производных и послекоммутационной схемы (при t = +0, ω ∞), которая приведена на рис. 6.26, в. Составим систему
; ,
из решения которой и находим А1 и А2
.
6) Анализ корней и запись окончательного решения:
а) если , то корни – отрицательные действительные числа. И окончательное решение записывается так:
Учитывая, что ; , а также, что при βt 0, , окончательно получим:
.
Такое решение называется апериодическим (рис. 6.27).
E u2 >
0 t |
Рис. 6.27 |
; ,
то при α << β, получим следующее (рис. 6.28):
E t =
0– e–t |
Рис. 6.28 |
Здесь ω0 = (LC)–1 – собственная частота колебательного контура; β = (ω0 – α)1/2 – частота собственных колебаний в контуре при наличии резистивных потерь; α = R/(2L) – скорость затухания собственных колебаний в контуре, α =1/τ, где τ = 2L/R – постоянная времени контура.
6.7. Связь между дифференциальным уравнением и характеристиками электрической цепи
1) Для линейной цепи при произвольном входном сигнале х(t) связь между выходным и входным сигналом записывается в виде дифференциального уравнения
.
2) Связь дифференциального уравнения с частотной передаточной функцией.
По определению, частотная функция есть H(jω)=.
Если входной сигнал гармонический
, (6.1)
если цепь линейная, то выходной сигнал обязательно гармонический:
. (6.2)
Подставим (6.1) и (6.2) в дифференциальное уравнение
В результате получим
.
3) Связь частотной с операторной функцией цепи Н(р).
По определению, Н(р) = H(jω)|jω→p.
Отсюда
.
4) Связь между импульсной и переходной характеристикой g(t) и h(t). Так как , то .
5) Связь между g(t) и H(jω), H(p).
Из спектрального анализа следует выходной сигнал
.
Если , то спектр . Следовательно,
– обратное преобразование Фурье (ОПФ). – прямое преобразование Фурье (ППФ).
Таким образом, все способы описания электрической цепи связаны между собой.
Контрольные вопросы
-
с чем связано возникновение переходных процессов в электрической цепи?
-
В чем заключается классический и спектральный методы анализа линейных цепей?
-
В чем заключается суть анализа линейных цепей методом интеграла Дюамеля?
-
Каков характер переходной характеристики в цепи первого порядка?
-
Как формулируются законы коммутации?
-
Какими основными свойствами обладает единичная функция?
-
Как дифференцирующая и интегрирующая цепи влияют на импульсные сигналы?
-
На вход цепи с операторной передаточной функцией вида Ku(p) = (1+pτ)–1 воздействует гармонический сигнал s1(t)=A cos(ωt). Записать отклик.
-
В каких задачах удобен спектральный метод анализа?
-
Нарисовать схему замещения цепи (рис. 6.23) при ω→0 и ω→∞.
-
Для каких целей применяется интегрирующая цепь?
-
Как связаны между собой импульсная и переходная характеристика линейной цепи?