- •Глава 5
- •5.5.1. Последовательный колебательный контур
- •Резонансная характеристика последовательного колебательного контура
- •Резонанс в связанных колебательных контурах
- •5.6. Операторные функции цепи
- •Глава 6
- •6.4.2. Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь
- •4) Найдем показатели экспоненты р1 и p2.
- •6.6. Расчет переходных характеристик последовательного колебательного контура
6.4.2. Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь
Цепь, состоящая из RC-элементов и приведенная на рис. 6.17, называется интегрирующей RC-цепью.
Установим связь между выходным u2 и входным u1 напряжениями, считая входной сигнал u1 произвольным. Используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем:
u1(t) i(t) R C u2(t) |
Рис. 6.17 |
Подставим полученные напряжения в первое выражение:
.
Если R>>, то R= или .
Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь.
Рассмотрим по входному сигналу два частных случая.
А. Пусть входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис. 6.14) . Используя классический метод, определим отклик цепи.
1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду
.
2) Запишем общее решение:
.
3) Найдем вынужденную составляющую общего решения
.
Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место, когда t ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как =cos ωt| (ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (ХL = ωL), а емкости – разрыву цепи (ХС = (ωС)–1).
E E u2(0) = 0 u2() = E а б |
Рис.6.18 |
4) Найдем показатель экспоненты р1.
Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения
RCр1+1 = 0.
Отсюда р1= –(RC)–1.
5) Найдем постоянную интегрирования A1.
Ее находим из общего решения при t 0 и схемы замещения исходной цепи при t 0 (ω ∞). Она приведена на рис. 6.18, б. Запишем уравнение, откуда и найдем А1
, А1 = –Е.
6) Запишем общее решение:
.
Выходное напряжение представляет собой импульс, нарастающий по экспоненте, характеризующийся двумя параметрами:
1) Е – амплитуда импульса;
2) τ – постоянная времени цепи.
Определим выходной сигнал при t = τ:
.
Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, возрастая по экспоненциальному закону, изменяется от 0 до уровня 0,63 от своего стационарного значения Е (рис. 6.19.)
E t 1 2 |
Рис. 6.19 |
0,63E
ногда пользуются третьим параметром. tуст – время установления выходного напряжения. Это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,9 и 0,95 составляет tуст 0,9 = 2,3τ; tуст 0,95 = 3τ.Б. Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 6.20) амплитудой Е и длительностью tи. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как
.
E u1 t |
E E E t t t u1 u1 u1 u2 u2 u2 <<
tи >>
tи ~
tи а б в |
||
Рис. 6.20 |
Рис. 6.21 |
|
Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:
L R |
Рис. 6.22 |
На рис. 6.21 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и tи.
Аналогичными свойствами обладает цепь, состоящая из RL-элементов (рис. 6.22). Она называется интегрирующей RL-цепью.
6.5. Пример расчета переходной характеристики двухконтурной цепи
Дана двухконтурная цепь (рис. 6.23), рассчитать ее переходную характеристику
.
Задачу будем решать классическим способом. При составлении уравнения выбираем переменную, характеризующую энергетическое состояние цепи, наиболее просто связанную с выходным сигналом.
C u1(t) i1 R u2(t) i2 L |
Рис. 6.23 |
.
1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду. При составлении уравнений относительно тока iL = i2 воспользуемся методом контурных токов (здесь i1 и i2 – токи соответственно первого и второго контура) и составим два уравнения для первого и второго контура
Из второго уравнения найдем ток первого контура и подставим его выражение в первое уравнение, полученное выражение поделим на L и продифференцируем по времени
; ,
введем обозначения (RC)–1=2β, (LC)–1= ω0 , получим
.
2) Запишем общее решение относительно тока второго контура и входного напряжения:
; .
3) Найдем вынужденную составляющую общего решения .
C R i2()=0 L E E C R L i2(0)=0 U2(0)=E а б |
Рис. 6.24 |
Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 6.24, а). Из схемы следует, что i2(=0)=0.