Глава 3

Математические модели элементов электрических цепей

Любая электрическая цепь состоит из отдельных элементов, в которых при протекании электрического тока происходят достаточно сложные энергетические явления, связанные с преобразованием электрической энергии. Для упрощения описания процессов, происходящих в реальных элементах, их считают идеальными, т.е. предполагают, что каждый элемент обладает лишь одним каким-либо свойством: либо поглощать электрическую энергию (пассивные элементы), либо накапливать ее (реактивные элементы), либо создавать (активные элементы).

Классификация элементов электрических цепей дана на рис. 3.1.

Рис. 3.1. 1 – элементы электрических цепей, 2 – пассивные элементы, 3 – активные элементы, 4 – сопротивление, 5 – емкость, 6 – индуктивность, 7 – взаимно-индуктивная цепь, 6 – источник тока, 8 – источник ЭДС.

3.1. Способы описания свойств элементов электрических цепей

Существует три способа описания свойств элементов электрических цепей:

1. Аналитический способ – в виде электрической характеристики (уравнения) элемента. Это зависимость между физическими величинами, определяющими параметр элемента. Например, для сопротивления I = U/R (рис. 3.2).

2. Графический способ – это график аналитического выражения электрической характеристики. Например, для сопротивления эта вольт-амперная характеристика (ВАХ) приведена на рис. 3.3.

3. Параметром элемента, который определяется из электрической характеристики:

, например ,

где воздействие – электрическая величина, которая воздействует на элемент; отклик появляется в результате воздействия. Параметр есть отношение отклика к воздействию.

Рассмотрим подробнее свойства идеальных элементов электрических цепей.

3.2. Сопротивление

Сопротивление – идеальный элемент, которому свойственно только поглощение электрической энергии с преобразованием ее в тепловую, механическую или другую форму.

Условное обозначение приведено на рис. 3.4.

1. Электрическая характеристика участка, обладающего сопротивлением R, имеет вид

Для участка цепи, обладающего сопротивлением при протекании тока, на его выводах возникает напряжение, которое прямо пропорционально току. Эта характеристика называется вольт-амперной.

2. Параметром сопротивления является величина, которая называется сопротивлением и обозначается .

Единица измерения сопротивления – ом [Ом]. Часто применяют кратные единицы: 10³ Ом = 1кОм (килоОм), 10⁶ Ом = 1МОм (мегаОм), 10⁹ Ом = 1 ГОм (гигаОм). Иногда вместо сопротивления пользуются параметром, который называется проводимостью: G = 1/R. Единица измерения проводимости – сименс [См].

3. Закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений на участке цепи, обладающем сопротивлением:

.

4. Закон Ома в комплексной форме устанавливает связь между комплексными амплитудами напряжения и тока ( и ) на элементе. Он записывается в виде уравнения = Z, где Z – комплексная величина, она называется комплексным сопротивлением элемента:

Z = .

Найдем соотношения (закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление) для участка цепи, обладающего сопротивлением.

Считаем, что , отсюда .

Из закона Ома для мгновенных значений следует, что

, отсюда .

Тогда закон Ома в комплексной форме имеет вид

= Z_R, ().

Отсюда получим выражение для комплексного сопротивления , из которого следует:

а) комплексное сопротивление не зависит от частоты;

б) сдвиг по фазе между напряжением и током равен 0 (φ_и = φ_i).

Пусть, например, ток через сопротивление R = 2 Ом равен i(t) = 4cos(2π1000t + π/3) [А]. Его комплексная амплитуда равна I_m = 4e^jπ/3 [А], а комплексную амплитуду напряжения на сопротивлении расcчитаем по соотношению U_m = I_m R = 4e^jπ/3 2 = 8e^jπ/3 [B]. При необходимости можно записать и выражение для мгновенного напряжения на сопротивлении:

u(t) = 8cos(2π1000t + π/3) [В].

5. Мгновенная мощность:

, т.е. сопротивление поглощает электрическую энергию.

6. Активная мощность: , здесь cos φ = 0, P_S – полная мощность.

7. Реактивная мощность: , так как sin φ = 0.

8. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к сопротивлению, является резистор. Он представляет собой объем проводника (рис. 3.5) с высоким удельным сопротивлением ρ. Его параметром является сопротивление. Оно рассчитывается по формуле

,

где ρ – удельное сопротивление проводника, т.е. сопротивление проводника с единичными по длине гранями, l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения.

3.3. Емкость

Емкость – это идеальный элемент, который способен накапливать и отдавать энергию в виде связанного с напряжением электрического поля.

Условное обозначение приведено на рис. 3.6.

1. Электрическая характеристика емкости С = f(u) характеризуется зависимостью накопленного заряда q от приложенного напряжения u, в случае линейной зависимости имеет вид

или [Ф].

Единица измерения емкости – фарада [Ф]. Часто пользуются единицами, которые составляют доли от фарады: 10^–3 Ф = 1мФ (миллифарада); 10^–6 Ф =1мкФ (микрофарада); 10^–9 Ф = 1 нФ (нанофарада); 10^–12 Ф = 1 пФ (пикафарада).

2. Закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения.

.

Разрешим это уравнение относительно u_С(t), считая, что при t = 0 ток мгновенно изменяет свое значение:

,

отсюда при t = +0 (рис. 3.7), получим:

,

где U_C(–0) – напряжение на емкости до скачка тока через емкость; U_C(+0) – напряжение на емкости сразу после скачка тока.

Это соотношение называется законом коммутации для емкости, т.е. при скачкообразном изменении тока через емкость напряжение на емкости мгновенно измениться не может, оно изменяется непрерывно.

3. Закон Ома в комплексной форме для емкости.

Считаем, что

,

отсюда .

Определим ток, используя закон Ома для мгновенных значений:

,

отсюда

= jωCU_me^–jφ.

Здесь учтено, что +.

Из записанного следует, что закон Ома в комплексной форме для емкости:

, или ,

а комплексное сопротивление емкости

.

Из последнего выражения следует:

а) – модуль сопротивления емкости зависит от частоты (рис. 3.8). Емкость имеет бесконечно большое сопротивление для постоянного тока (ω = 0);

б) ток опережает напряжение на 90, или напряжение отстает от тока на 90, т.е.  = _и – _i = –90. Это следует из соотношения =е^–j90.

Пусть напряжение на емкости u(t) = 10 cos(2π1000t + π/6) [В].

Комплексная амплитуда этого напряжения имеет вид

U_m = 10e ^jπ/6 [B].

При емкости С = 1мкФ комплексное сопротивление емкости

Z_C = (j2π1000)^–1.

По закону Ома в комплексной форме для емкости найдем комплексную амплитуду тока через емкость:

I_m = 2π10^–2 [A],

а затем и выражение для мгновенного тока

i(t) = 2π10^–2 cos(2π1000t + π/6) [В].

4. Мгновенная мощность:

.

Если , то емкость накапливает электрическую энергию, забирая ее от источника сигнала, напряжение на емкости возрастает, поэтому говорят, что емкость заряжается.

Если , то емкость возвращает энергию в цепь, т.е. сама является источником энергии, которую накопила, напряжение при этом на емкости уменьшается, и говорят, что емкость разряжается. Поэтому и называют емкость реактивным элементом.

5. Активная мощность:

,

так как φ = – 90.

6. Реактивная мощность:

,

где P_S – полная мощность.

7. Энергия, запасаемая емкостью, – это мощность, поглощенная за время t:

.

8. Реальным элементом, приближающимся по своим свойствам к емкости, является конденсатор, его основным параметром является емкость. В простейшем случае он представляет собой две металлические пластины, разделенные диэлектриком (рис. 3.9).

Емкость такого конденсатора определяется выражением:

,

где ε – диэлектрическая проницаемость, S – площадь пластины, d – расстояние между пластинами.

3.4. Индуктивность

Индуктивность – идеальный элемент, который способен накапливать и отдавать энергию в виде связанного с током магнитного поля.

Условное обозначение индуктивности приведено на рис. 3.10.

1. Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему через индуктивность

.

Основной характеристикой индуктивности является зависимость (i), называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейной индуктивности зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат .

Единица – генри [Гн].

2. Закон Ома для мгновенных значений.

При протекании электрического тока на индуктивном элементе:

.

Если ток постоянный, то .

Разрешим это уравнение относительно тока, считая, что при t = 0 напряжение на индуктивности мгновенно возрастает:

.

Отсюда следует,

.

Это соотношение называют законом коммутации для индуктивности. Оно означает, что при мгновенном изменении напряжения на индуктивности ток мгновенно измениться не может. Здесь учтено, что; I_L(–0) – ток через индуктивность до коммутации, I_L(+0) – ток через индуктивность после коммутации.

3. Закон Ома в комплексной форме и комплексное сопротивление индуктивности:

; .

Из записанного следует:

а) модуль комплексного сопротивления зависит от частоты (рис. 3.11);

б) . Это означает, что напряжение опережает ток на 90, т.е.  = _u – _i = 90.

4. Мгновенная мощность:

.

Если P(t) > 0, то накапливается энергия; если P(t) < 0, то происходит отдача энергии.

5. Р_А = 0 .

6. Р_Q = UI = P_S.

7. Энергия, которую запасает электрический элемент:

.

8. Реальным элементом, приближающимся к индуктивности, является катушка индуктивности. Она представляет собой спираль (рис. 3.12), выполненную из ряда витков тонкого провода; основным ее параметром является индуктивность.

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Индуктивность зависит от параметров витка, от шага намотки, от числа витков, от магнитной проницаемости материала (сердечника), введенного в катушку.

3.5. Индуктивно связанная цепь, идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор служит для преобразования (трансформации) переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения. Он состоит из двух индуктивно связанных катушек индуктивности (рис. 3.13), слева расположена первичная катушка индуктивности, справа – вторичная катушка индуктивности.

L₁ – первичная индуктивность, L₂ – вторичная индуктивность, M – коэффициент взаимной индуктивности.

Напряжения и токи в этом элементе связаны следующими отношениями:

, .

Каждое из напряжений состоит из двух слагаемых: первое обусловлено током через данную индуктивность, второе – через соседнюю.

Знак у второго слагаемого зависит от направления токов в индуктивностях, если токи направлены одинаково, в одном направлении (такое включение называется согласованным), то берется знак плюс, если токи направлены встречно (встречное включение), то берется знак минус.

Идеальный трансформатор – это такой элемент электрической цепи, который передает энергию без ее потери, т.е.

р₁ = u₁ i₁ = p₂ = u₂ i₂,

где p₁ – мощность, подводимая к первичной индуктивности, р₂ – мощность, отбираемая от вторичной индуктивности. В идеальном трансформаторе не происходит потери энергии при передаче сигнала через него. Напряжения u₁ и u₂ и токи i₁ и i₂ связаны соотношениями:

u₂ = n u₁, i₁ = ,

где n – коэффициент трансформации. Он равен отношению числа витков вторичной обмотки ω₂ к числу витков первичной ω₁:

.

Если n > 1, то такой трансформатор называется повышающим (напряже-ние). Если 0 < n < 1, т.е. число витков во вторичной обмотке меньше, чем в первичной, то такой трансформатор называется понижающим (напряжение).

У реального трансформатора p₁ < p₂. Он представляет собой несколько обмоток, размещенных на общем замкнутом сердечнике, выполненном из магнитомягкого материала для увеличения магнитной связи (рис. 3.14.).

3.6. Активные элементы

1. Идеальный источник ЭДС – это такой источник, который вырабатывает напряжение, величина которого не зависит от сопротивления нагрузки или тока нагрузки (рис. 3.15, а), т.е. U_н = E = const, при var (R_н, I_н). В обозначении «↑» показывает направление увеличения потенциала. Реальным источником, приближающимся к идеальному источнику ЭДС, является аккумулятор.

I_н

R_i

E

R_н

U_н

E

R_н

I_н

U_н

U_н

I_н

E

R_i = 0

R_2i

R_1i<R_н

а б в

Рис. 3.15

Идеальный источник ЭДС невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем I_н = U_н /R_н. Если R_н  , то P_ист = EI_н  .

Для реальных источников ЭДС (рис. 3.15, б) необходимо учитывать их внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости напряжения на нагрузке от тока нагрузки

U_н = E – I_н R_i.

Зависимость U_н (I_н) называется внешней характеристикой источника ЭДС (рис. 3.15, в). Чем меньше R_i, тем ближе источник к идеальному источнику ЭДС. Идеальный источник ЭДС должен иметь нулевое внутреннее сопротивление R_i = 0.

2) Идеальный источник тока. Это источник, вырабатывающий ток I через сопротивление нагрузки, величина которого не зависит от напряжения на нагрузке и ее сопротивления R_н (рис. 3.16, а), т.е. I_н = I = const, при var (U_н, R_н).

Идеальный источник тока невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем U_н = I_нR_н. Если R_н, то P = I_нU_н.

I

I

I_н

R_н

U_н

I

I

I_н

R_н

U_н

R_i

I_i

U_н

I_н

I

R_i < 

R_i = 

а б в

Рис. 3.16

Для реального источника тока (рис. 3.16, б) необходимо учитывать его внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости тока через нагрузку от сопротивления нагрузки

I_н = I – I₁, I₁ = IR_н /(R_i+R_н).

Отсюда следует, что при увеличении сопротивления нагрузки часть тока I проходит через внутреннее сопротивление R_i, что приводит к уменьшению тока через нагрузку. Идеальный источник тока должен иметь внутреннее сопротивление R_i = , тогда I₁ = 0. На рис. 3.16, в показана внешняя характеристика источника тока.

3.7. Модели реальных пассивных элементов

В идеальных элементах электрических цепей протекает лишь один процесс преобразования энергии: либо поглощения энергии, либо накопления, либо выделения. Процессы, протекающие в реальных элементах, гораздо сложнее, чем в идеальных, поскольку в них протекает одновременно несколько процессов преобразования энергии. Модели реальных элементов называют схемами замещения, или эквивалентными схемами, они состоят из идеальных элементов (рис. 3.17), которые отражают процессы, протекающие в реальных элементах. При составлении эквивалентных схем учитывают конструктивные, технологические и частотные особенности.

Индексами «0» обозначены основные элементы схем, а индексами «S» –вспомогательные, которые учитывают дополнительные процессы, протекающие в элементах. Элементы с индексами S называют паразитными, так как они мешают работе основного. Например, для всех элементов на высоких частотах необходимо учитывать индуктивности выводов элементов, а также емкость, которая всегда существует между ними. Для емкости необходимо учитывать несовершенство диэлектрика между пластинами (R_S – сопротивление утечки), для индуктивности – резистивное сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности.

3.8. Зависимые источники электрических сигналов

Все активные элементы могут быть разделены на зависимые и независимые. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых не зависят от напряжения и тока на других участках электрической цепи, называются независимыми. Они рассмотрены в разделе 3.7. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых зависят от напряжения и тока на других участках цепи, называются зависимыми. Они приведены на рис. 3.18 и имеют следующие названия:

1) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН, рис. 3.18, а). Его параметром является K_u = U_2m /U_1m – коэффициент передачи по напряжению.

2) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ, рис. 3.18, б). Его параметром является K_iu = U_2m /I_1m – коэффициент преобразования тока в напряжение.

3) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН, рис. 3.18, в). Его параметром является K_ui = I_2m /U_1m – коэффициент преобразования напряжения в ток.

U₁

U₁

I₁

I₁

U₂ = K_uU₁

I₂ = K_u1U₁

U₂ = K_iuI₁

I₂ = K_iI₁

а б в г

Рис. 3.18

4) Источник тока, управляемый током (ИТУТ, рис. 3.18, г). Его параметром является K_i = I_2m /I_1m – коэффициент передачи по току.

Контрольные вопросы

1. Какие элементы цепи называются идеализированными.

2. Как связаны переменные ток и напряжение на емкости и индуктивности?

3. Какие элементы схем называют пассивными?

4. На каком элементе гармонический ток опережает напряжение на 90?

5. Чему равна энергия запасенная емкостью и индуктивностью?

6. По какому закону изменяется ток через емкость, если напряжение на нем линейно возрастает во времени.

7. Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС?

8. Как называют схемы (модели) реальных элементов, составленные из идеализированных элементов?

9. Как связаны токи и напряжения в идеальном трансформаторе?