Глава 7

Основы теории четырехполюсников

7.1. Основные определения. Уравнения и параметры четырехполюсника

Теория четырехполюсников – это один из способов описания электрической цепи, когда схема электрической цепи может быть неизвестна. В теории четырехполюсников электрическую цепь заменяют «черным ящиком» с четырьмя выводами, два из которых являются входными (1, 1¹), а два других – выходными (2, 2¹) (рис. 7.1).

Режим работы цепи и все ее параметры известны (можно рассчитать), если известны входные и выходные токи и напряжения. При этом:

U₁,I₁– напряжение и ток на входе;

U₂,I₂– напряжение и ток на выходе.

Теория четырехполюсников позволяет описывать электрическую цепь, для которой известны две из этих четырех величин и параметры четырехполюсника, определенные в режиме короткого замыкания и холостого хода на входе и выходе цепи. Две известные величины называют воздействием, обозначим их Х₁,Х₂(это независимые переменные), а две другие откликом, обозначим ихY₁,Y₂(это зависимые переменные, т. е. функции).

Уравнения, устанавливающие связь между откликами и воздействиями, называют основными уравнениями четырехполюсника. В общем виде их можно записать как две некоторые функцииf₁иf₂ от (х₁их₂), однако для линейных цепей в соответствии с принципом суперпозиции эти функции обращаются в линейную комбинацию переменных (х₁их₂):

Коэффициенты L_11, L₁₂,L₂₁,L₂₂, входящие в основные уравнения четырехполюсника, называются параметрами четырехполюсника. В зависимости от того, что считать воздействием (аргументами)Х₁,Х₂и что откликом (функциями)Y₁,Y₂ (таблица), можно записать шесть пар основных уравнений четырехполюсника.

Система параметров	1	2	3	4	5	6
Воздействие	İ1, İ2	U2, U1	U2, İ2	U1, İ1	İ1, U2	İ2, U1
Отклик	U1, U2	İ1, İ2	U1, İ1	U2, İ2	İ2, U1	İ1, U2
Параметры	Z	Y	A	B	H	G

7.2. Z-параметры четырехполюсника

Связь между напряжениями, токами и Z-параметрами получают из уравненийU₁ = f₁(I₁,I₂),U₂ = f₂(I₁,I₂). Если считать четырехполюсник линейным, то в силу принципа суперпозиции функции представляют собой линейную комбинацию аргументов, т. е.

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, имеют размерность сопротивлений и называются Z-параметрами, а сами уравнения – уравнениями четырехполюсника сZ-параметрами. Эти параметры имеют следующие названия:

– входное сопротивление при режиме холостого хода (х.х.) на выходе;

– сопротивление обратной передачи при холостом ходе на входе;

– сопротивление прямой передачи при холостом ходе на выходе;

– выходное сопротивление при холостом ходе на входе.

В общем случае при наличии в схеме реактивных элементов эти сопротивления являются комплексными.

Полученную систему уравнений можно записать в матричной форме:

(U) = (Z) (I),

где ( I ) = (I₁,I₂)^т– матрица-столбец заданных токов,( U )= (U₁,U₂)^т– матрица-столбец напряжений на выводах четырехполюсника;

– матрица сопротивлений четырехполюсника.

Аналогично можно записать и остальные уравнения четырехполюсника, например Y-параметры. Основные уравнения четырехполюсника в Y-пара-метрах записываются как

,

а Y-параметры имеют следующие названия:

– входная проводимость в режиме короткого замыкания на выходе;

– проводимость обратной передачи в режиме короткого замыкания на входе;

– проводимость прямой передачи при коротком замыкании на выходе;

– выходная проводимость в режиме короткого замыкания на входе.

Причем , так как они определены при разных режимах.

Параметры различных систем уравнений, относящиеся к одному четырехполюснику, взаимосвязаны, т.е. любой из параметров одной системы уравнений (например, Z-параметры) может быть выражен через параметры другой системы (напримерY,H,Gи т.д.). Кроме того, все параметры четырехполюсника связаны с функциями цепи.

7.3. Связь между функциями цепи и параметрами четырехполюсника

К основным параметрам (функциям) электрической цепи относят Z_вх, K_u, K_I, Z_вых. Покажем, что все они могут быть выражены черезZ-параметры четырехполюсника:Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂. Так как функции цепи иZ-параметры четырехполюсника характеризуют свойства одного и того же четырехполюсника, то все они связаны между собой. Установим связь между функциями цепи и параметрами четырехполюсника (рис. 7.2).

1

U₁

U₂

İ₂

İ₁

E

Z_i

Z_н

) Запишем основные уравнения вZ-параметрах и закон Ома дляZ_ни обозначим, записанные уравнения как (7.1), (7.2), (7.3).

Рис. 7.2

; (7.1); (7.2). (7.3)

Подставим (7.3) (7.2). Получим

.

Разрешим это уравнение относительно I₂.

. (7.4)

Подставим (7.4) (7.1), получим

. (7.5)

Используя определения функций цепи, выразим их через Z-параметры.

2) Используя определение входного сопротивления и (7.5), получим

,

если Z_н , тоZ_вх =Z₁₁.

Используя определение коэффициента передачи тока и (7.4), получим

.

3) Используя определение коэффициента передачи напряжения (7.3) и (7.5), получим

.

4) Используя определение выходного сопротивления, получим

.

7.4. Эквивалентные схемы четырехполюсника

Электрическая схема реального четырехполюсника может быть сложной или даже недоступной, например, транзистор. Поэтому представляет интерес замена схемы реальной электрической цепи некоторой простой эквивалентной схемой.

Схемы называются эквивалентными, если при их взаимной замене входные и выходные токи и напряжения не изменяются. Эквивалентные схемы можно составлять разными способами:

1) по заданной топологии (по расположению элементов) электрической цепи;

2) по основным уравнениям четырехполюсника. Такие схемы называют формальными схемами замещения;

3) по физической модели. Это физическая схема замещения.

7.4.1. Схемы замещения по заданной топологии

Обычно в качестве эквивалентных схем выбирают схемы с минимальным числом элементов. Наиболее распространены Т-, П- и Г- образные схемы замещения (рис. 7.3).

Z₁

Z₃

Z₂

Z₁

U₂

U₁

I₂

E

I₁

Z₂

Z₁

Z₃

I

U₁

I₁

Z₂

U₂

а б в Рис. 7.3

Для Т-образной схемы замещения покажем связь между ее параметрами (Z₁,Z₂,Z₃) иZ-параметрами четырехполюсника.T-образная схема имеет два контура с контурными токамиI₁иI₂. Используя метод контурных токов, запишем контурные уравнения

;Z₂I₁ = (Z₂ + Z₃) I₂ = U₂ + E.

Если цепь пассивна, то E= 0, при этом составленные уравнения совпадают с уравнениямиZ-параметров четырехполюсника, отсюда и определимZ-параметры

; ; .

Отсюда получим

; ; .

Электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными. Для пассивных электрических цепей выполняется условие . Пассивные цепи для своего описания требуют трех параметров, четвертый определяется из условия пассивности .

Активные четырехполюсники делятся на автономныеи неавтономные.Автономные четырехполюсники содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники.

Четырехполюсники называются симметричными, если при замене местами входных и выходных зажимов его параметры не изменяются. – условие симметричности четырехполюсников. Симметричные четырехполюсники называютвзаимными.

7.4.2. Формальные схемы замещения

Их составляют по основным уравнениям четырехполюсника. Запишем основные уравнения четырехполюсника в системе H-параметров:

; (7.6)

. (7.7)

Схему замещения входной цепи четырехполюсника составляют по уравнению (7.6), а выходной – по уравнению (7.7). Схема замещения четырехполюсника в системеH-параметров приведена на рис. 7.4.

Уравнение (7.6) представляет собой второй закон Кирхгофа (закон для контура), поэтому входная цепь изображается в виде контура. При этом первое слагаемое – это падение напряжения от входного тока на входном сопротивлении, т.е. h₁₁I₁, а второе слагаемое – это напряжение, возникающее во входном контуре в результате обратной связи. Это учитывается введением во входную цепь зависимого источника ЭДС –.

Уравнение (7.7) представляет собой первый закон Кирхгофа (закон для узла). Выходной ток I₂состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое – это, зависимый источник тока, учитывающий передачу входного тока в выходную цепь, а второе слагаемое – этоh₂₂U₂, ток через проводимостьh₂₂.

7.5. Условия согласования источника сигнала с нагрузкой

Рассмотрим вопрос передачи сигнала от источника сигнала в нагрузку (рис. 7.5). Считаем, что источник сигнала представлен источником ЭДС с внутренним сопротивлениемZ_i =R_i + jX_i, а нагрузкой является сопротивлениеZ_н =R_н +jX_н. Обычно рассматривают два условия (режима) согласования:

1) Получение на нагрузке максимальной амплитуды напряжения – это условие максимального кпд по напряжению.

2) Условие согласования, при котором на нагрузке выделяется максимальная мощность – условие согласования по мощности.

Установим условие первого режима согласования, т.е. получения на нагрузке максимальной амплитуды напряжения. Запишем выражение для выходного напряжения

.

Из него следует, что U_н →max, когда |Z_н| >> |Z_i|. Такой режим согласования используют в энергетических установках. В этом случае напряжение, выделяемое на нагрузке, а следовательно, и кпд цепи (кпд =U_н/U₁) максимально и равно единице.

Установим условие второго режима согласования, когда на нагрузке происходит выделение максимальной мощности.

Мощность выделяется на резистивной составляющей R_нсопротивления нагрузкиZ_н. Это активная мощность, она определяется из выражения

.

Найдем амплитуду тока I_m. Сначала запишем выражение для комплексной амплитуды тока в контуре:

.

Затем найдем модуль комплексной амплитуды:

.

Подставим ток в исходное выражение, получим активную мощность, выделяемую в нагрузке

.

Найдем условия, когда .

Во-первых, потребуем Х_н = –Х_i.

Во-вторых, найдем максимум по второй переменной (по R_н). Для этого надо взять производную поR_н от функции

,

и приравнять ее к нулю. В результате получим R_н = R_i.

Итак, условие согласования по максимальной мощности на нагрузке записывается так:

т.е. сопротивления нагрузки и источника сигнала должны быть комплексно сопряженными.

В режиме согласования по мощности в нагрузке выделяется мощность:

.

Это составляет 50% от мощности, развиваемой источником сигнала, т.е.

Напряжение на нагрузке при этом

.

Следовательно, кпд в режиме согласования по мощности составляет 50 %, т.е.

.

7.6. Согласование четырехполюсников

Часто четырехполюсники являются передающим (согласующим) звеном между источником сигнала и нагрузкой (см. рис. 7.2). Определим условие, когда четырехполюсник оказывается согласованным, т.е. условие, при котором через четырехполюсник от источника сигнала в нагрузку передается наибольшая мощность.

Рассмотрим условие согласования на примере пассивного симметричного четырехполюсника (Z₁₂ = Z₂₁, Z₁₁ = Z₂₂). Его входное сопротивление зависит от сопротивления нагрузкиZ_вх (Z_н) и определяется из выражения

,

поэтому его можно выбрать таким, чтобы .

Это выполняется, когда

,

где Z_в– характеристическое, или волновое, сопротивление. Волновое сопротивление – это специфический параметр четырехполюсника.

Четырехполюсник считают согласованным и в нагрузку от источника сигнала через четырехполюсник передается наибольшая мощность, если внутреннее сопротивление источника R_iи сопротивление нагрузкиR_нравны волновому сопротивлениюZ_в, т.е.R_i  =R_н=Z_в.

7.7. Соединение четырехполюсников

При анализе электрических цепей часто возникает задача определения параметров сложных четырехполюсников, которые образованы соединением нескольких простых четырехполюсников, параметры которых известны. Нахождение параметров сложных четырехполюсников значительно упрощается, если воспользоваться формулами, устанавливающими связь между параметрами простых и параметрами составного четырехполюсника.

Четырехполюсники могут быть соединены так, как показано на рис. 7.6. Название составных четырехполюсников обычно состоит из двух слов. Первое слово характеризует способ соединения четырехполюсников на входе (последовательно или параллельно), а второе – на выходе (последовательно или параллельно). Каждую из схем составного четырехполюсника можно заменить на один четырехполюсник (рис. 7.6, е), параметры которого определяются следующим образом.

1) Последовательно-последовательное соединение (рис. 7.6, а).(Z)-мат-рица составного четырехполюсника равна сумме(Z₁)+(Z₂)-матриц простых четырехполюсников:

(Z) = (Z₁) + (Z₂).

2) Параллельно-параллельное соединение (рис. 7.6, б). При параллельно-параллельном соединении четырехполюсников складываются(Y)-матрицы:

(Y) = (Y₁) + (Y₂).

Z₁

Z₂

Y₂

Y₁

A₁

A₂

H₁

H₂

G₁

G₂

а

б

в

г

д

е

Рис. 7.6

3) При каскадном соединении (рис. 7.6,в) (иногда такое соединение называют последовательным) наиболее удобны соотношения между(А)-матрицами:

(А) = (А₁)(А₂).

4) При последовательно-параллельном соединении (рис. 7.6.г) суммируются(H)-матрицы:

(H) = (H₁)+(H₂).

5) При параллельно-последовательном соединении (рис. 7.6, д) суммируются(G)-матрицы:

(G) = (G₁) + (G₂).

Контрольные вопросы

1. Что называют четырехполюсником?

2. Какими системами параметров описываются четырехполюсники?

3. Как связаны между собой функции цепи и параметры четырехполюсника?

4. Какие четырехполюсники считают эквивалентными?

5. Какие четырехполюсники называются симметричными?

6. Какие четырехполюсники называются автономными?

7. В чем заключается суть режима согласования источника и нагрузки?

8. Как определяются параметры сложных четырехполюсников, которые образованы соединением простых четырехполюсников?