Глава 8

Фильтры электрических сигналов

8.1. Основные понятия и определения

В современных многоканальных системах связи широко используется частотный принцип разделения сигналов. Он состоит в том, что каждому сигналу отводится своя полоса частот. Важнейшую роль при обработке таких сигналов играют фильтры электрических сигналов.

Фильтры – это устройства, которые предназначены для пропускания сигналов в определенной полосе частот и подавления сигналов за пределами этой полосы частот. Обычно фильтр – это четырехполюсник (рис. 8.1.).

Передача сигнала через фильтр характеризуется двумя способами.

1) Комплексным коэффициентом передачи по напряжению:

K_u(j) =U_2m/U_1m

или его амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

K_u() = U_2m/U_1m.

Коэффициент передачи – это относительная безразмерная величина. Иногда его характеризуют относительной логарифмической величиной K_u[дБ] = 20lgK_u, ее размерностью является децибелл (дБ). Коэффициент передачи показывает, какая доля входного сигнала проходит через фильтр.

2) Коэффициентом затухания по напряжению:

(jω) =U_1m/U_2m = 1/K_u(j);(ω) =U_1m/U_2m,[дБ] = –20lgK_u().

Он показывает долю сигнала, которая затухает, проходя через фильтр.

8.2. Основные понятия для идеальных фильтров

1) Полоса пропускания (ПП) – это диапазон частот, в котором K(ω) = 1,  = 1.

2) Полоса задержания, или заграждения (ПЗ), – это диапазон частот, в котором K(ω) = 0,.

3) Частота, являющаяся границей между полосой пропускания и полосой задержания, называется граничной частотой, или частотой среза (f_гр илиf_ср).

У реальных фильтров нет четкой границы между ПП и ПЗ, поэтому в них за значение граничной частоты f_грпринимают частоту, определяемую из соотношения≈ 0,707.

Скорость спада АЧХ коэффициента передачи K_uв полосе заграждения рассчитывается из выражения

V= – 20lg.

Избирательные свойства фильтра тем лучше, чем ближе форма АЧХ к прямоугольной. Идеальный фильтр имеет прямоугольную АЧХ. Его скорость спада бесконечна.

На рис. 8.2. изображены амплитудно-частотные характеристики фильтра низких частот (ФНЧ) в логарифмическом масштабе при разных скоростях спада.

8.3. Классификация фильтров электрических сигналов

1) В зависимости от характера входного сигнала фильтры делятся:

- на аналоговые,

- цифровые.

2) В зависимости от наличия в схеме активных элементов:

- пассивные,

- активные.

3) В зависимости от элементов, составляющих фильтр:

- LC,

- RC,

- RL-типа,

- АRC-типа (активныеRC-фильтры).

4) По характеру математического выражения аппроксимирующего АЧХ фильтра:

- фильтры Бесселя,

- фильтры Баттерворта,

- фильтры Золотарева,

- фильтры Чебышева и др.

5) По расположению полосы пропускания на оси частот фильтры делятся:

- на фильтры низких частот (ФНЧ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, а. АЧХ идеального фильтра имеет прямоугольный характер, а у реального нет четкой границы между полосой пропускания и полосой заграждения.

- Фильтры высоких частот (ФВЧ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, б:

K_u

K_u

K_u

K_u

1

1

1

1

0

0

0

0

ПП

ПП

ПЗ

ПП

ПП1

ПП2

ПЗ1

ПЗ2

ПЗ









_гр

_гр

_н.гр

_в.гр

₀

_н.гр

_в.гр

₀

а б в г Рис. 8.3

- Полосно-пропускающие фильтры (ППФ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, в, гдеω₀– средняя частота полосы пропускания; ω_в.гр, ω_н.гр– соответственно верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания. Если ω₀/(ω_в.гр–ω_н.гр) >> 1, то фильтры называют избирательными, такие фильтры пропускают сигналы в узком диапазоне частот.

- Полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ). Их АЧХ коэффициента передачи приведена на рис. 8.3, в, гдеω₀– средняя частота полосы задержания; ω_в.гр, ω_н.гр– соответственно верхняя и нижняя граничные частоты полосы задержания. Если ω₀/(ω_в.гр – ω_н.гр) >>1, то фильтры называют режекторными, они подавляют сигнал в узком диапазоне частот.

8.4. Схемы электрических фильтров

Основой для построения фильтров является каскадное (последовательное) соединение Г-, Т- или П-образных четырехполюсников (рис. 8.4). Каждый из четырехполюсников в теории фильтров называют звеном фильтра.

K_u

K₂

K₁

U_m+1

U_1m

U_2m

Рис. 8.4

Если звенья фильтров удовлетворяют условию R_вых<< R_вх, то такие звенья можно считать независимыми, так как они не влияют на коэффициент передачи по напряжению друг на друга. В этом случае общий коэффициент передачи фильтраK_u общможно записать как произведение коэффициентов передачK_uiотдельных звеньев, входящих в фильтр

.

8.4.1. Схемы звеньев фильтров

Избирательные свойства звеньев фильтра и фильтра в целом объясняются тем, что в их схему входят элементы (катушки индуктивности и емкости), сопротивления которых зависят от частоты.

Для простейшей Г-образной схемы с комплексными сопротивлениями Z₁иZ₂коэффициент передачи по напряжению определяется выражением

.

Отсюда следует, что на частотах, когда |Z₂|>>|Z₁|,K_u  1 – это полоса пропускания. На тех частотах, когда |Z₂|<<|Z₁|,K_u 0 – это полоса заграждения.

Рассмотрим конкретные схемы звеньев фильтра.

1) Простейшие схемы однозвенных ФНЧ приведены на рис. 8.5.

На рис. 8.5а,бивприведены Г-образные схемы соответственноRC-типа,RL-типа иLC-типа типа, а на рис. 8.5,г,дприведены Т- и П-образные схемы наLC-элементах. Работа, например, фильтраRC-типа происходит следующим образом. Если ω→0, то сопротивление конденсатора (1/ωС)→∞, а следовательно,U_2m=U_1m, т.е. сигнал передается через цепь без ослабления.При увеличении частоты входного сигнала сопротивление конденсатора уменьшается, (1/ωС)→0. Амплитуда выходного напряжения на конденсаторе |U_2m|→0 и, следовательно, высокочастотный сигнал через фильтр не проходит, т.е. подавляется.

U₁(t)

U₂(t)

U₁(t)

U₁(t)

U₂(t)

R

C

C

C

C/2

C/2

R

L

L

L/2

L/2

L

а б в г дРис. 8.5

Комплексный коэффициент передачи по напряжению K_u(j) = U_2m/U_1mи амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) K_u() = U_2m/U_1mрассмотренного ФНЧ определяются из выражений:

K_u(jω) = (1+jωRC)^–2,K_u(ω) = (1+(ωRC)²)^–2.

2) Простейшие схемы однозвенных ФВЧ приведены на рис. 8.6.

На рис. 8.6, а–вприведены Г-образные схемы соответственноRC-типа,RL-типа иLC-типа, а на рис.8.6г, дприведены схемы Т- и П-образные схемы наLC-элементах. Работа, например, фильтраRC-типа, происходит следующим образом. Если ω → 0, то сопротивление конденсатора (1/ωС) → ∞, а следовательно,U_2m → 0, – низкочастотный сигнал через фильтр не проходит, т.е. подавляется. При увеличении частоты входного сигнала сопротивление конденсатора уменьшается (1/ωС)→0, следовательно,U_2m=U_1m, т.е. высокочастотный сигнал передается через цепь без ослабления.

C

C

2C

R

2C

2C

U₁(t)

U₂(t)

U₁(t)

U₁(t)

U₂(t)

R

L

L

L

L

U₂(t)

L

а б в г дРис. 8.6

3) Полосно-пропускающий фильтр можно получить путем последовательного соединения двух звеньев ФНЧ и ФВЧ, подобрав соответствующим образом их граничные частоты.

Однако на практике часто используют схему моста Вина (рис. 8.7, а). На рис. 8.7,бприведена зависимость его коэффициента передачи от частоты. На рис.8.7,вприведена схема ППФ на основе последовательного контура.

K_u

C

C

R

R

R

C

L

ФНЧ

ФВЧ

1/3



₀ =(RC)^–1

а б вРис. 8.7

4) Полосно-заграждающий фильтр (ПЗФ) можно получить путем последовательного соединения ФНЧ и ФВЧ при соответствующем выборе граничных частот.

Однако на практике часто используют схему двойного Т-образного моста (рис. 8.8,а). Зависимость коэффициента передачи от частоты этой схемы приведена на рис. 8.8,б. Аналогичной характеристикой обладает схема на основе последовательного контура (рис. 8.8,в).

K_u

ФНЧ

ФВЧ

1



₀=(RC)^–1

R

C

L

а б в

Рис. 8.8

8.4.2. Влияние числа звеньев фильтра на его характеристики

Рассмотрим это влияние на сравнении одно- и двухзвенного ФНЧ на RC-элементах (рис. 8.9,а,б). Будем считать, что в состав второй схемы (рис. 8.9,б) между звеньями входит устройство согласования звеньев по сопротивлениям. Согласующий каскад [x₁] имеет большое входное (R_вх) и малое выходное (R_вых0) сопротивления, при этом его коэффициент передачи равен единице (К_u=1). Это позволяет считать 1-е и 2-е звено независимыми.

20 lg K_u

–20 дБ/дек

R

C

C

C

R

R

x₁

1 2 3 4 5 6 7

lg 

100

80

60

40

20

–40 дБ/дек

–60 дБ/дек

а б в

Рис. 8.9

Для первой схемы комплексный коэффициент передачи по напряжению и его АЧХ определяются из выражений:

;.

Граничная частота звена определяется из соотношения _гр = 1/(RC). В полосе заграждения при>_гркоэффициент передачи убывает со скоростьюK_u()1/, т.е. при увеличениив 10 разK_u() убывает в 10 раз. Это убывание в логарифмических единицах составляет величину 20 дБ на декаду, т.е.v = –20 дБ/дек.

Фильтр с одним реактивным элементом называется фильтром первого порядка, поскольку он описывается дифференциальным уравнением 1-го по-рядка.

Рассмотрим АЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению для двухзвенного фильтра. Она определяется как произведение коэффициентов передач звеньев

K_u() =K₁ K₂=.

При >ω_гр K_u()1/², т.е.v = –40 дБ/дек.

Вывод. Чем больше звеньев в фильтре, тем выше скорость спада в полосе заграждения (v) и тем фильтр ближе к идеальному. При независимых звеньях скорость спада составляетv = n20 дБ/дек, гдеn– число звеньев.

Контрольные вопросы

1. Для чего предназначены фильтры электрических сигналов?

2. Какими основными параметрами описываются фильтры электрических сигналов?

3. Как классифицируются фильтры электрических сигналов?

4. Охарактеризуйте основные схемы построения электрических фильтров?

5. Как влияет число звеньев фильтра на его характеристики?

6. Как определяется полоса пропускания фильтра?

7. Как называется диапазон частот, в котором коэффициент передачи по напряжению и коэффициент затухания в идеальных фильтрах равны единице?

8. Что собой представляет частота среза фильтра?

9. Как рассчитывается комплексный коэффициент передачи N-звенного фильтра, если звенья одинаковы, обладают комплексным коэффициентом передачиKi(jω) и согласованы по напряжениям.

10. Какова временная диаграмма сигнала на выходе ФНЧ при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов (рис. 8.10)?

.

а б в гРис. 8.10

11. Какова временная диаграмма сигнала на выходе ФВЧ при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов (рис. 8.10)?