Глава 9

Цепи с распределенными параметрами

Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью. Это придает процессам, происходящим в электрических цепях, волновой характер, т.е. токи и напряжения в электрической цепи оказываются зависящими не только от времени t, но и от координаты сечения цепиx, т.е.U(x,t); i(x,t).

Если >>L, то участки цепи, состоят из элементов, обладающих только одним свойством и называются цепями с сосредоточенными параметрами, где=сТ =с/f– длина электромагнитной волны. Это расстояние между двумя точками, фазы колебаний в которых отличаются на 2π. Здесьс– скорость распространения волны;Т– период;f – частота;l– геометрический размер цепи. Все магнитные поля сосредоточены в катушках (L), все электрические поля – в конденсаторах (C), а потери – в резисторах (R).

Если <l, то в цепи невозможно выделить участок, обладающий одним свойством. Каждый участок цепи обладает одновременно свойствамиR,L,C-элементов, т.е. параметры элементов как бы распределены по всему участку цепи. Такие цепи называют цепями с распределенными параметрами.

На частоте f = 1 кГц цепь длиныl = 30÷40 км является цепью с распределенными параметрами. А на частотеf = 1 ГГц цепь длинойl = 2÷3 мм также является цепью с распределенными параметрами.

Примерами цепей с распределенными параметрами являются:

- воздушно-двухпроводная линия;

- электрический кабель;

- коаксиальный кабель;

- полосковая линия, прямоугольный или круглый волновод и т.д.

Цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями.

9.1. Понятие о длинной линии и распространение волн в ней

Рассмотрим воздушную двухпроводную линию, длина которой соизмерима или больше длины электромагнитной волны (рис. 9.1, а). При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное полеН, что свидетельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль линии. Между проводами возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии потерь, т.е. говорит о сопротивлении.

H

E

X

İ₂

E₀

z_i

z_н

dx

0

dx

L₀dx

R₀dx

C₀dx

G₀dx

абРис. 9.1

Количественно физические параметры длинной линии характеризуются следующими погонными параметрами, т.е. параметрами, приходящимися на единицу длины:

L₀– погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Гн/м.

R₀– погонное сопротивление. Определяется как сопротивление короткозамкнутого отрезка проводов длиной 1 м. Единица измерения Ом/м.

C₀– погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Ф/м.

G₀– поперечная проводимость. Определяется как проводимость между проводами, разомкнутыми на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения См/м.

Выделим участок длины dx. Его можно представить эквивалентной схемой, приведенной на рис. 9.1,б.

Если погонные параметры не зависят отx, то линии называются однородными, если погонные параметры зависят от координатых, неоднородными. ЕслиR₀ =G₀ = 0, то линию называют линией без потерь.

Составим уравнения, позволяющие определить напряжение и ток в любом сечении длинной линии, для длинной линии без потерь (рис. 9.2). Запишем выражения относительно приращений напряжения и тока:

; (9.1). (9.2)

Поделим первое и второе уравнение на dx, а затем продифференцируем первое уравнение пох, второе – поt, а затем выразим смешанные производные:

Полученные (крайние справа) уравнения для линии без потерь называются волновыми.

Уравнение, полученное аналогично, но с учетом RиG, для линий с потерями, называются телеграфными. Они записываются так

В общем случае решение волновых уравнений можно представить выражениями:

где, функцииf₁иf₂зависят от начальных и граничных условий, т.е. от сигналов, которые подводятся к длинной линии, но главное, эти функции должны быть дважды дифференцируемыми.

Первое слагаемое называется прямой волной, а второе – обратной волной. С физической точки зрения, прямая волна характеризует сигнал, который распространяется в направлениих, а обратная волна – сигнал, который распространяется вдоль линии в противоположном направлении (рис. 9.3).

9.2. Полубесконечная длинная линия

Решение волновых уравнений значительно упрощается, если рассматривать полубесконечную длинную линию при гармоническом воздействии e(t) =E_m cosωt(рис. 9.4).В такой линии нет условий для распространения обратной волны, а потому существует лишь прямая, ее называют падающей волной.

Установившиеся процессы в такой линии в произвольном сечении являются гармоническими, но появляется фазовый сдвиг, который связан с конечной скоростью распространения волны. Напряжение и ток в любом сечении определяются из соотношений:

где v₀=λ/Т= (L₀C₀)^–2 – скорость распространения сигнала в длинной линии;

β = ω/v₀– коэффициент фазы, он характеризует фазовый сдвиг волны на единицу длины линии, иногда его называютпространственной частотойсигнала, так как β = 2π/λ, гдеλ– длина волны (это название дано по аналогии с тем, что ω = 2π/Т – временная частота).

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока прямой волны называют волновым сопротивлением Z_в=E_m / I_m. Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер.Иногда ρ называют характеристическим сопротивлением.

Эти три параметра (v₀, β,Z_в) называются волновыми, или вторичными, параметрами длинной линии.

Таким образом, в длинной линии без потерь сигнал в любом сечении не изменяет своей формы и амплитуды, но наблюдается запаздывание вследствие конечной скорости распространения. В линии с потерями наблюдается не только запаздывание во времени, но и затухание сигнала по амплитуде с возрастанием х.

9.3. Линия конечной длины. Отражения

На практике часто используются линии конечной длины. Пусть однородная линия длиной lнагружена на конце (x =l) на сопротивлениеZ_н. Приx = 0 линия питается от генератора гармонической ЭДС с внутренним сопротивлениемR_i. Волновое сопротивление линииZ_в=.

Вустановившемся режиме в линии присутствуют две волны. Эти волны распространяются в двух взаимно противоположных направлениях. Волна, движущаяся от генератора к нагрузке, называется прямой, или падающей. Волна, движущаяся от нагрузки к генератору, называется обратной, или отраженной. Появление обратной волны связано с отражением падающей волны от нагрузки. Таким образом, в длинной линии в каждый момент времени в каждой точке сечения присутствует алгебраическая сумма двух волн – падающей и отраженной.

При гармоническом колебании мгновенное значение напряжения в любой точке определяется суммой падающей и отраженной волн напряжения, а мгновенные значения тока – разностью падающей и отраженной волн тока. Знаки в суммах связаны с тем, что положительные направления напряжений U_пад,U_отрвыбраны одинаково (сверху вниз), а у токовI_пад,I_отр– встречно, поэтому они вычитаются:

U_(x,t) =U_пад+U_отр; I_(x,t) =I_пад –I_отр,

где U_(x,t),U_пад,U_отр ,I_(x,t) ,I_пад,I_отр – комплексные амплитуды.

Процессы, происходящие в длинной линии, определяются не только волновыми параметрами, которые характеризуют собственные свойства линии, но и коэффициентами отражения, которые зависят от согласования линии с нагрузкой.

Комплексным коэффициентом отражениядлинной линии называют отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отраженной и падающей волн в произвольном сечении линии:

• комплексный коэффициент отражения напряжения;

• комплексный коэффициент отражения тока.

9.4. Режимы работы длинной линии

В зависимости от соотношения волнового сопротивления ρи сопротивления нагрузкиZ_нв длинной линии возможны три режима работы:

• Режим бегущих волн в линии имеет место, когда в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, а отраженная во всех сечениях равна нулю. В этом режиме вся энергия от источника питания передается в нагрузку, отражение отсутствует, следовательно, U_отр= 0 иР_u = 0.

• Режим стоячих волн имеет место, когда происходит полное отражение волны от нагрузки, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых одинаковы: U_отр =U_пад, следовательно ‌‌| Р_u |‌‌ = 1. В этом режиме энергия в нагрузке не выделяется.

• Режим смешанных волн. В этом режиме энергия частично выделяется в нагрузке, а частично отражается, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых не одинаковы.

1) Рассмотрим режим бегущих волн. Он возможен при следующих видах нагрузки:

а) полубесконечная длинная линия (рис. 9.6). В ней нет конца, а потому и нет отраженной волны.

б) линия нагружена на сопротивление, равное волновомуZ_н = ρ (рис. 9.7,а).

Коэффициент отражения равен нулю

Влинии без потерь в режиме бегущих волн распределение амплитуд напряжения и тока по длине линии постоянно (рис. 9.7,б, в), а в линии с потерями амплитуды напряжения и тока убывают по экспоненте.

Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению линии и не зависит от ее длины.

В режиме бегущих волн передача энергии происходит только в одном направлении – от источника сигнала в нагрузку, такая нагрузка называется согласованной.

2)Режим стоячих волн.

В этом режиме вся падающая волна отражается от нагрузки. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна нулю. В режиме стоячих волн Р_u= 1 возникает в следующих трех случаях (рис. 9.8):

а) линия, разомкнутая на конце Z_н = ∞.



Z_н =

Z_н =0

Z_н =jX

а б вРис. 9.8

Коэффициент отражения по напряжениюР_u = 1. Это означает, что на конце линии волна по напряжению полностью отражается, т.е. амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, причем знак отраженной волны совпадает с падающей, что приводит к удвоению напряжения на конце линии.

Коэффициент отражения по току Р_i = –1. Это означает, что на конце линии ток равен нулю.

Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме холостого хода приведены на рис. 9.9, б.

Точки максимума напряжения или тока называются пучностяминапряжения или тока, а точки, в которых амплитуда напряжения или тока равны нулю, называютсяузлами.

В режиме холостого хода на конце линии имеет место пучность напряжения и узел тока.

б) линия короткозамкнутая на конце: Z_н = 0. Коэффициенты отражения.Р_i = 1.

Графики распределения амплитуд напряжения и тока показаны на рис. 9.10,б, в. На конце линии имеет место пучность тока и узел напряжения.

в) линия нагружена на реактивное сопротивление Z_н=jX.

Коэффициенты отражения и– комплексные величины, а их модули равны │Р_u│=│Р_i│=1. Это означает, что амплитуды прямой и отраженной волн в линии одинаковы, но на конце нет ни пучности, ни узла.

3) Режим смешанных волн.

В таком режиме падающая волна частично поглощается, а частично отражается. Он возникает в следующих случаях:

а) нагрузка – комплексное сопротивление:

Z_н = R_н + jX_н U_{m min} U_{m max}.

б) нагрузка – резистивное сопротивление, не равное волновому сопротивлению ρ:

Z_н=R_н ≠ ρ.

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны меньше, чем амплитуда падающей. Следовательно, │Р_u│=│Р_i│<1, а потому амплитуды тока и напряжения в минимумах не равны нулю. На рис. 9.11,б, вприведено распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме смешанных волн при чисто резистивной нагрузке (R_н > ρ).

9.5. Коэффициент бегущей волны и коэффициент стоячей волны

Коэффициентом отражения удобно пользоваться при теоретическом анализе, однако его трудно определить экспериментально, поскольку трудно разделить и в отдельности измерить амплитуду падающей и отраженной волн. Поэтому на практике режимы работы длинной линии и степень ее согласования с нагрузкой характеризуют коэффициентами:

1) Коэффициент бегущей волны (КБВ):

КБВ = U_{m min}/U_{m max},

где U_{m min},U_{m max} – минимальное и максимальное значения амплитуды напряжения по длине линии.

2) Коэффициент стоячей волны (КСВ):

.

В режиме бегущих волн КБВ = 1, КСВ = 1.

В режиме стоячих волн КБВ = 0, КСВ = ∞

В режиме смешанных волн 0 < КБВ < 1, 1 < КСВ < ∞.

9.6. Применение длинных линий

Наиболее типичными применениями длинных линий являются:

1) Средства связи (средства передачи сигналов от источника сигнала к нагрузке).

2) Линия задержки.

Если линия нагружена на сопротивление, равное волновому, и в момент времени t = 0 источник сигнала создает прямоугольный импульс, то ввиду конечной скорости распространения сигнала , гдеL_0, C₀– погонные параметры, сигнал на нагрузке будет выделяться с задержкой, при этомt_зад =L/v₀. Поскольку линия нагружена на волновое сопротивлениеZ_в, то искажения сигнала не происходит. ЕслиZ_в =Z_н, то сигнал наблюдается с искажениями формы.

3) Трансформатор сопротивлений:

а) Четвертьволновой трансформатор сопротивлений.

Рассмотрим отрезок длинной линии, длина которой составляет четверть длины волны: L = λ/4, нагруженный на резистивное сопротивлениеR_н. Входное сопротивление такого отрезка определяется соотношением

Z_вх =ρ²/R_н.

Отсюда следует, что, изменяя отношение ρ/R_н, можно в широких пределах изменять входное сопротивление линии. Если необходимо преобразовать сопротивлениеR_нвR_1н, то для этого сопротивлениеR_н надо включить через четвертьволновой отрезок с волновым сопротивлением ρ = (R_нR_1н)^1/2.

б) Металлический изолятор.

Выражение для входного сопротивления – четвертьволновой отрезок линии – показывает, что при R_н = 0 его входное сопротивление бесконечно. Это позволяет использовать его в качестве изолятора.

в) Колебательный контур.

В радиотехнике на СВЧ вместо колебательных контуров, составленных из L, C-элементов, используют двухполюсники в виде короткозамкнутых отрезков. Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии определяется как

.

Если l =λ/2, тоZ_вх = ∞, т.е. четверть волнового отрезка длинной линии с коротким замыканием на конце обладает свойствами, аналогичными параллельному колебательному контуру.

Определим частоты, на которых отрезок линии представляет собой параллельный колебательный контур, т.е. имеет максимум модуля сопротивления

lω/ω ₀ = π/2+mπ.

Отсюда . На этих частотах данный отрезок будет представлять собой параллельный колебательный контур (рис. 9.12).

4) Формирователь коротких прямоугольных импульсов.

Если к согласованной длинной линии подключить источник постоянного напряженияE(рис. 9.13), то в ней по всей длине устанавливается одинаковое напряжение – линия заряжается (ключ в положении 1).

Если ключ переключить в положение 2, то на сопротивлении R =Z_вформируется импульс напряжения прямоугольной формы, длительность которого равна удвоенному времени задержки линии.

Контрольные вопросы

1. Что называется цепями с «распределенными параметрами»?

2. В каких направлениях распространяется волна от источника в линии?

3. Какие длинные линии называют линиями без потерь?

4. Что происходит в линиях с потерями?

5. Что возникает вследствие интерференции стоячей, падающей и отраженной волн?

6. Какой режим работы имеет место для полубесконечной длинной линии?

7. Какой режим работы имеет место для линии конечной длины при работе на согласованную нагрузку?

8. Каковы достоинства бегущего режима работы длинной линии?

9. При какой нагрузке в длинной линии без потерь конечной длины возникает режим бегущих волн?

10. В каком режиме в длинной линии отсутствуют отражения?

11. При какой нагрузке в длинной линии без потерь конечной длины возникает режим смешанных волн?

12. Какие параметры длинной линии относятся к первичным?

13. Какая длинная линия называется однородной?

133