23 Некоторые приборы геометрической оптики.

1. Глаз. (рис.5.9)

Фокусировка глаза на предмет называется аккомодацией. Средние характеристики человеческого глаза:

Оптическая сила ~ 58 дптр.

Длина глаза ~ 22 мм.

Радиус кривизны сетчатки ~ 9,7 мм;

преломляющей оверхности ~ 5,6 мм.

Показатель преломления среды 1,33;

хрусталика ~ 1,4 – 1,45.

Расстояние наилучшего зрения 25 см.

2. Линзовый телескоп (рис.5.10). Увеличение (5.60)

3. Лупа . Простейшая оптическая система с малым фокусным расстоянием (~1 см или немного больше). Предмет располагается на расстоянии от лупы меньше фокусного. Изображение мнимое, прямое, увеличенное. Увеличение

(5.61)

где D – расстояние наилучшего зрения (25 см).

4. Микроскоп. Передняя собирающая линза называется объективом (f₁ около сантиметра), задняя – окуляром (f₂ около нескольких сантиметров). Объектив строит увеличенное перевернутое действительное изображение, окуляр играет роль лупы для этого изображения как предмета. Увеличение

(5.62)

где d – расстояние между фокусами объектива и окуляра.

24 Под интерференцией света обычно понимают широкий круг явлений, в которых при наложении световых волн результирующая интенсивность не равна сумме интенсивностей отдельных волн: в одних местах она больше, в других – меньше, т.е. возникают чередующиеся светлые и темные участки – интерференционные полосы. Другими словами, интерференцией называется изменение средней плотности потока энергии, обусловленное суперпозицией электромагнитных волн. В дальнейшем под интенсивностью световой монохроматической волны будем понимать следующую величину, определяемую формулой:

(6.1)

где E₀ – действительная амплитуда световой волны.Рассмотрим суперпозицию двух линейно поляризованных в одном направлении волн с различными амплитудами:

(6.2)

Тогда суммарная интенсивность I будет равна:

(6.3)

С учетом (6.1) и (6.2) выражение (6.3) принимает вид:

(6.4)

где

Если частоты интерферирующих волн различны, то формула (6.4) примет вид:

. (6.5)

Последнее слагаемое в (6.4) или в (6.5) называется интерференционным членом. В тех случаях, когда он обращается в нуль, результирующая интенсивность равна сумме интенсивностей отдельных волн и интерференция отсутствует. Если же интерференционный член отличен от нуля, то суммарная интенсивность изменяется от минимального значения(6.6)

до максимального значения(6.7)

Монохроматических волн в природе не существует, поэтому приходится ограничиться квазимонохроматическими волнами. Картина интерференции монохроматических волн является лишь первым приближением в интерференции волн от реальных источников. Существующие экспериментальные методы получения интерференционной картины обычно делятся на два класса: 1) способы деления амплитуды волны; 2) способы деления фронта волны.Рассмотрим несколько примеров.Интерферометр Майкельсона. Интерферометр состоит из делительной пластинки P и двух зеркал R₁ и R₂ , расположенных на расстояниях l₁ и l₁ от пластины (рис.6.1). На пластинке P происходит деление амплитуды, поскольку фронты волн на ней сохраняются, меняя лишь направление своего движения. Нетрудно показать, что при любом коэффициенте отражения света от пластинки амплитуды полей, приходящих в точку наблюдения А одинаковы. Т.к. частоты также остаются постоянными, то (6.5) принимает вид:

. (6.8)

При этом интенсивность I изменяется от своего минимального значения при до своего максимального значения при. Значение разности фаз определяется длинами плеч интерферометраl₁ и l₂ :. (6.9)

Пример применения интерферометра Майкельсона. При движении одного из зеркал за счет продольного эффекта Доплера происходит смещение частоты отраженной волны:

. (6.10)

Тогда существенной станет не постоянная амплитуда, а периодически изменяющаяся с частотой в соответствии со значением скорости движения зеркала:

(6.11)

Как видно, интерферометр Майкельсона – прекрасный инструмент не только для измерений расстояний, но и скорости перемещения объектов, т.к. он весьма чувствителен к перемещениям.

Поставив в одно из плеч призму или линзу, можно получить великолепный инструмент для исследования их качества по интерференционной картине (интерферометр Тваймана–Грина).

Другой пример интерферометра по методу деления амплитуды – интерферометр Маха–Цендера (рис.6.2). По изменению интерференционной картины и длине пути светового пучка в ячейке Q можно с большой точностью определить относительный показатель преломления исследуемого вещества ячейки.

26 Опыт Юнга. (1801 г.) Рассмотрим интерференцию, возникающую в результате выделения с помощью двух щелей S₁ и S₂ участков сферического волнового фронта волны от точечного источника S (рис.6.3) (метод деления волнового фронта). Найдем разность хода лучей в произвольной точке наблюдения P на экране:

. (6.12)

При (что обычно реализуется в эксперименте) получаем:

. (6.13)

Следовательно, с точностью до величины первого порядка по имеем:. (6.14)

Разность фаз между волнами в точке наблюдения при этом равна:

. (6.15)

Интерференционная картина на экране в зависимости от координаты y принимает вид:

(6.16)

Расстояние на экране наблюдения между соседними максимумами или минимумами интенсивности называется шириной интерференционной полосы. Для схемы Юнга ширина полосы определяется по формуле:

(6.17)

и не зависит от порядка интерференции, являясь постоянной при заданных l, d и l. Разумеется, приведенный расчет весьма приблизительный, т.к. кроме используемого приближения мы не учитывали размеры отверстия, а в их пределах фаза может существенно изменяться. Если же размеры меньше длины волны, то необходимо учитывать дифракционные эффекты. Примеры экспериментальных интерференционных схем, осуществляющих метод деления волнового фронта: бипризма Френеля, билинза Бийе, бизеркало Френеля, зеркало Ллойда. Интерференция при белом свете. Каждая волна со своей длиной в данной схеме создает свою систему интерференционных полос, причем центральный максимум (при y = 0) имеет вид белой полосы, т.к. он совпадает для всех длин волн. Первые минимумы (первые темные полосы) для всех длин волн очень близки и не перекрываются с полосами высших порядков. Следующие интерференционные полосы окрашены, т.к. эти максимумы для разных длин волн разнесены в пространстве (в данном случае по y). При дальнейшем увеличении порядка интерференции интерференционная картина постепенно пропадает, т.к. дальние полосы накладываются друг на друга и смазываются.

29 Интерференция в тонких пленках. При распространении световой волны в среде уменьшается скорость распространения волны и соответственно ее длина волны, т.к. ее частота не изменяется. При расчете изменения фаз волны в среде в качестве длины пути удобнее брать оптическую длину пути, равную геометрической длине, умноженной на показатель преломления:

. (6.28)

Тогда длину волны и волновой вектор в формулах можно задавать равными их значениям в вакууме.

а) Полосы равного наклона. Рассмотрим случай, когда плоская монохроматическая волна падает под углом j на поверхность плоскопараллельной пластинки с относительным показателем преломления n и толщиной h (рис.6.7). Интерференция возникает между двумя волнами, отраженными от верхней и нижней поверхностями пластины. Так как эти пучки параллельны между собой, то интерференция наблюдается (локализована) или на бесконечности или в фокальной плоскостиF линзы Л. С учетом потери полволны на границе раздела сред (если n > 1, то в точке A, если n < 1, то в точке B) оптическая разность хода в данном случае равна

. (6.29)

Из геометрии рисунка (вывести самостоятельно !) получаем для оптической разности хода:

. (6.30)

Условием максимума интерференционной картины по-прежнему является

. (6.31)

а условием минимума –

(6.32)

Если на пластинку падают непараллельные пучки света, то и интерферирующие пучки будут иметь всевозможные направления распространения. При заданных толщине пластины и показателе преломления каждому углу падения волны соответствует своя интерференционная полоса. Поэтому такие полосы и называют полосами равного наклона. При аксиально симметричном распределении падающих пучков линии равного наклона являются окружностями.Даже если источник света протяженный и различные его точки излучают некогерентно, то интерференционные картины не зависят от фазы волны в точке расщепления пучков на поверхности пластины (точка A на рис. 6.7) и от положения этой точки, а зависят лишь от угла падения. Поэтому конечность размеров источника не смазывает картину полос равного наклона и не является ограничивающим интерференцию фактором.

Если падающий свет не монохроматичный, при увеличении разности длин падающих волн интерференционные кольца разделяются и при некотором значении этой разности полосы соседних порядков перекрываются. Разность длин волн, при которой наступает перекрытие полос соседних порядков интерференции, называется дисперсионной областью (или областью свободной дисперсии). Немонохроматичность ухудшает видность интерференционной картины. С другой стороны, увеличение толщины пластины уменьшает дисперсионную область. Для наблюдения интерференции в белом свете толщина должна быть достаточно малой (~ 10 мкм). Поэтому в данном случае речь идет об интерференции в тонких пленках.

б) Полосы равной толщины. Теперь рассмотрим интерференцию света на пластинке с переменной толщиной (клине) (рис.6.8). В световом потоке, исходящем из источника S монохроматического света всегда присутствует волна 2, интерферирующая в точке C с волной 1, прошедшей по пути SABC. Если источник расположен достаточно далеко от поверхности клина и угол между поверхностями клина достаточно мал (эти условия на практике при изучении такой схемы интерференции, как правило, выполняются), то оптическая разность хода приблизительно определяется при прочих равных условиях толщиной клина в точке C и высчитывается по той же формуле, что и (6.30). Однако в этом случае интерференционная картина локализована на верхней поверхности клина. Интерференционную картину можно также наблюдать и с помощью линзы на экране. В этом случае поверхность проецируется на экран наблюдения. Линии одинаковой интенсивности совпадают с линиями постоянной толщины пластины, поэтому соответствующие интерференционные полосы называются полосами равной толщины. Ограничения на толщину клиновидной пластины, связанные со степенью когерентности (или монохроматичности) такие же, как и в случае плоскопараллельной пластины.

Кольца Ньютона. Примером интерференционной схемы, в которой наблюдаются полосы равной толщины, является воздушная прослойка, образованная между плоской поверхностью стекла и положенной на нее плосковыпуклой линзой (или наоборот) (рис.6.9). В этом случае линии равной толщины – окружности, поэтому интерференционная картина имеет вид концентрических колец. Потеря полволны происходит на нижней поверхности воздушного клина. Пусть h – толщина воздушного клина в точке минимума картины (темное кольцо), R – радиус кривизны линзы. Найдем радиус темного интерференционного кольца m-го порядка. Из геометрии рисунка видно, что . Учитывая, что, получаем. Используя условие минимума (6.32), получаем для радиусаm-го темного кольца:

. (6.33)

Интерференционные кольца наблюдаются как в отраженном, так и в прошедшем свете. При этом там, где в отраженном свете наблюдается светлое кольцо, то в прошедшем – темное, т.е. интерференционные картины в прошедшем и отраженном свете являются взаимно дополнительными. Центральное пятно в отраженном свете – темное, т.к. толщина воздушного клина пренебрежительно мала и волны интерферируют практически в противофазе из-за потери полволны. В белом свете, как и следует из формулы (6.33), наблюдаются цветные кольца.

Контрастность интерференционных картин в отраженном и прошедшем свете неодинакова. Для наблюдения четкой интерференционной картины в отраженном свете поверхности клина должны обладать малым коэффициентом отражения, а в прошедшем – большим. Это легко видеть из соотношений амплитуд интерферирующих волн, которые для лучшей видимости должны стремиться к единице. Для отраженных волн оно равно , а для прошедших –, где – энергетический коэффициент отражения (проверить самостоятельно).

27 Многолучевая интерференция. До сих пор мы рассматривали интерференцию между двумя волнами. Теперь рассмотрим многолучевую интерференцию на примере интерферометра Фабри–Перо (ИФП) (рис.6.10). Исследуем сначала интерференцию многих световых волн при прохождении плоской монохроматической волны через плоскопараллельную диэлектрическую пластинку толщиной h и показателем преломления n. Обозначим – амплитудные коэффициенты пропускания и отражения при входе волны внутрь пластины,– амплитудные коэффициенты пропускания и отражения на выходе волны из пластины наружу. При этом справедливы соотношения:

(6.34)

где Á и Â – энергетические коэффициенты пропускания и отражения соответственно. Будем считать углы падения j и преломления q достаточно малыми, что можно считать коэффициенты отражения и пропускания независящими от этих углов. Разность хода D между соседними интерферирующими волнами на выходе пластины равна

, (6.35)

а разность фаз равна

. (6.36)

Запаздывание последующей волны относительно предыдущей за счет прохождения волны в пластинке учтем множителем е^-id . Суммарная амплитуда E₂ прошедшей волны определяется суперпозицией всех прошедших пластинку волн:

. (6.37)

Интенсивность света определяется следующим образом:

или

(6.38)

Эта формула носит название формулы Эйри.

Отметим, что аналогично можно найти суммарную интенсивность света при отражении от плоскопараллельной пластинки:

.(6.39)

Интерференционные картины в проходящем и отраженном свете оказываются дополнительными.

Вид функции Эйри (6.38) для трех различных коэффициентов отражения (1 – Â=0,04; 2 – Â=0,4; 3 – Â=0,8) представлен на рис.6.11. Максимумы функции достигаются при, гдеm = 0,1,2, ..., а минимумы – при. Т.о. функция видности интерференционной картины равна:

,(6.40)

т.е. при ® 1 Þ V ® 1. При минимуме прошедшей проинтерферировавшей волны наблюдается максимальное отражение света от интерферометра тоже за счет интерференционного сложения волн на зеркалах.

Если на ИФП падают пучки света под всевозможными углами, то интерференционные полосы имеют вид колец. Максимальный порядок интерференции соответствует центру интерференционной картины. Интерференционная картина имеет одинаковый вид там, где падающие пучки имеют одинаковый угол падения на ИФП (полосы равного наклона). Интерференционная картина наблюдается или на бесконечности, или (что обычно реализуется в эксперименте) в фокальной плоскости линзы.

В реальных измерительных ИФП интерференция возникает между двумя отполированными с высокой точностью ( ~ 0,01l) плоскими строго параллельными (с плоскостностью до 0,005) зеркалами с большими коэффициентами отражения (алюминиевые зеркала – ~75%, посеребренные – ~90%, диэлектрические интерференционные – до 99,9%). Интерферометр с показателем преломления между зеркалами n = 1 называется эталоном Фабри–Перо).